19._矩阵的初等变换与矩阵等价

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换包含3条规则：

（1）对换变换——交换矩阵的两行。 （2）数乘变换——将某行全体元素都乘以某一非零常数。 （3）倍加变换一一把另一行的常数k倍加到某行上．

矩阵的初等变换来自解方程组，下面通过对边解方程进行理解。

例 求方程组的解

解：STEP1 下面分别采用方程组记号与矩阵记号来描述消元过程，并将结果呈现，可以从对照中看到运用矩阵的方便性，写出系数对应的增广矩阵。

STEP2 保留第一个方程中的 $x_1$ ，并且消去其余方程中的 $x_1$ ．注意并不是真正地消去变量 $x_1$ ，实质上是把 $x_1$ 的系数化为 0 。把第一个方程的 -2 倍加到第三个方程上，将计算结果代替原第三个方程。

STEP3 将上述第二个方程的 1 倍加到第一个方程上，第二个方程的 $-\frac{5}{2}$ 倍加到第三个方程上，得

STEP4 将上述第三个方程乘以 $-\frac{2}{11}$ ，把 $x_3$ 的系数化为 1 ，得

STEP5 将上述第三个方程的 -1 倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的变量 $x_3$ ．将第三个方程的 -2 倍加到第一个方程上，消去第一个方程中的变量 $x_3$ 。

STEP6 将上述第二个方程乘以 $\frac{1}{2}$ ，把 $x_2$ 的系数化为 1 ．得方程组的解：

利用矩阵的初等变换可以化为阶梯形矩阵，这是线性代数的重点，具体会在 阶梯形矩阵 想象介绍

定理1 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，对 $\boldsymbol{A}$ 进行一次初等行变换相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘一个相应类型的 $m$ 阶初等矩阵；对 $\boldsymbol{A}$ 进行一次初等列变换相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的右边乘一个相应类型的 $n$ 阶初等矩阵．

矩阵的等价

矩阵的等价来源于“同解方程组”，请看下面两个方程

和

虽然这是两个完全不同的方程，但是他们的解是一样都是，即他们的解都是

如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来参见，令

则第一个方程矩阵乘法就是

,令

则第二个方程矩阵乘法就是

还记得初中学过的代数式吗？假如 $ax=b$ 和 $qx=p$，解第一个式子中的$x=\frac{b}{a}=a^{-1}b$,然后带入第二个式子$qa^{-1}b=p$即$p=qa^{-1}b$, 如果$a \ne 0$,再令$a^{-1}=t$,就得到 $p=qtb$，即我们可以说 $p \sim t$

同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同，我们有理由相信，(4)中的$X$可以带入(5)，带入后应该是

$QA^{-1}B=P$

如果$A$可逆，可以把$A^{-1}$命名为$T$,带入上式就是 $QTB=P$

我们知道，这里的$T$就是一个矩阵的名字，上式等号左右调换一下即

我们给他一个名字：称矩阵$P$和矩阵$T$是等价的。

这里我们可以从向量的角度捋一捋矩阵的等价。 从(3)可以看出， 在$A$基坐标系里看向量$X$，他的坐标值是

而到了$B$坐标系里看向量$X$，他的坐标值是

向量还是是同一个向量$X$，如果坐标系变了(由A坐标系变为Q坐标系)，其坐标值也会变（由B坐标值变为P坐标值）。

因此，两个矩阵等价，最基本的意思就是：通过线性变换在不同基下的表示，或者说更改观看的视角。

比如，要给一头猪拍照，可以正面拍，侧面怕，上面拍、下面拍，选择的视角不同，拍出的照片也会不同，但是不论怎么拍，最根本的物体没有变，猪还是那头猪，不能从正面拍是一头猪，侧面拍就变成一头牛了。如果更抽象一些，若$A$和$B$矩阵等价，但是$A$比较复杂而$B$比较简单，那么我们通过研究$B$的性质，就可以推导出$A$的性质，这是矩阵等价的作用，比如他们有相同的特征值与特征向量，有相同的矩阵的秩等。

在本站附录里介绍了矩阵的等价、合同和相似 得意义

矩阵的等价的定义

若有$A$和$B$两个矩阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $B=P A Q$ 则称$A$和$B$等价。

矩阵等价的性质

等价矩阵的性质包括： 1.反身性：矩阵A与自身等价，即A = A。 2.对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。 3.传递性：若矩阵A与B等价，且B与C等价，则A与C等价。 4.行列式相等：若矩阵A与B等价，则它们的行列式相等，即det(A) = det(B)。 5.相同秩：等价矩阵具有相同的秩，即rank(A) = rank(B)。 6.相同特征值：等价矩阵具有相同的特征值。 7.相同特征向量：等价矩阵具有相同的特征向量。 8.可逆性：若矩阵A是可逆的，则与其等价的所有矩阵也是可逆的。 9.初等变换：矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换，从而保持它们的等价性。 10.标准型：每个矩阵可以通过初等变换转换为一个唯一的标准形式（阶梯形、三角形或对角线矩阵）。 11.矩阵等价的定义：如果存在可逆矩阵P和Q，使得B=PAQ，则A与B等价，其中P和Q分别是n×n和m×m阶的可逆矩阵。

正如上面方程的解C最终化为对角矩阵一样，如果进行使用矩阵的初等变换，则解可以变成E单位阵