7._上三角与下三角行列式

1.上三角

主对角线下方全为零的元素，称为上三角行列式，其值为主对角线乘积。

计算

D=∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯00⋯ann∣D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|

解：我们使用nn阶矩阵的原始定义求其值，要使得乘积项 a1p1a2p2⋯anpna_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n} 不等于零，元素 anpna_{n p_n} 只能取 anna_{n n}; 元素 an−1,pn−1a_{n-1, p_{n-1}} 只能取 an−1,n−1a_{n-1, n-1}; ；元素 a1P1a_{1P_1} 只能取 a11a_{11} 。 于是行列式的展开式中只有 a11a22⋯ama_{11} a_{22} \cdots a_m 这一项可能不是零， 其它项全为零. 而 a11a22⋯ama_{11} a_{22} \cdots a_m 的列标是标准排列，逆序数为零，所以

∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯00⋯ann∣=a11a22a33⋯ann\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|= a_{11} a_{22} a_{33} \cdots a_{n n}

结论：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。

2.下三角

主对角线上方全为零元素，这样的行列式称为下三角行列式

计算 D=∣a110⋯0a21c2n⋯0⋮⋮⋱⋮anan2⋯am∣D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & c_{2 n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n 2} & \cdots & a_m\end{array}\right|

解：根据行列式的定义

∣D∣=∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∑p1p2⋯pn(−1)τ(pp2⋯pn)a1p1a2p2⋯anpn|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(p p_2 \cdots p_n\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}

该行列式中有较多的元素为零。要使得乘积项 a1p1a2p2⋯anpna_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{np_ n} 不等于零，元素 a1pa_{1p} 只能取 a11a_{11} ；元素 a2p2a_{2 p_2} 只能取 a22；⋯⋯a_{22} ； \cdots \cdots ；元素 anpia_{np_i} 只能取 anna_{nn} ， 从而行列式的展开式中只有 a11a22…amma_{11} a_{22} \ldots a_{mm} 这一项可能不是零，其它项全为零. 而 a11a22⋯amma_{11} a_{22} \cdots a_{mm} 的列标是标准排列，逆序数为零，所以

∣D∣=∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=a11a22a33⋯ann|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33} \cdots a_{n n}

结论：下三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。

3.对角行列式

由于对角矩阵 D=∣a120⋯00a2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯am∣D=\left|\begin{array}{cccc}a_{12} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m\end{array}\right| 既是上三角同时也是下三角方阵， 所以

∣a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯ann∣=a11a22⋯ann\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}

对角矩阵的行列式称为对角行列式.其值为对角形元素的乘积

4. 副对角形行列式

∣λ1λ2⋱λn∣=(−1)n(n−1)2λ1λ2⋯λn\begin{aligned} & \left|\begin{array}{llll} & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & \\ & \ddots & \\ \lambda_n & & \end{array}\right| \\ & =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \end{aligned}

证明：略

5. 副下三角

计算 nn 阶行列式

Dn=∣a1n0a2,n−1a2n⋱⋮⋮⋯an,n−1ann∣.D_n=\left|\begin{array}{ccccc} & & & & a_{1 n} \\ & 0 & & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & \cdots & a_{n, n-1} & a_{n n} \end{array}\right| .

解 利用行列式的定义分析，则知 DnD_n 的展开式中只有下面一项

a1na2,n−1⋯an−1,2an1a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n-1,2} a_{n 1}

可能不为零．这一项列指标排列的逆序数为

τ(n(n−1)⋯321)=n(n−1)2,\tau(n(n-1) \cdots 321)=\frac{n(n-1)}{2},

所以

Dn=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an−1,2an1.D_n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n-1,2} a_{n 1} .

6 副上三角

∣a11a12⋯a1na21a22⋯0⋯⋯⋯⋯an10⋯0∣==(−1)n(n−1)2a1na2(n−1)⋯an1\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right| = =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2(n-1)} \cdots a_{n 1}

例题

例计算行列式

D=∣1+a11111−a11111+b11111−b∣D=\left|\begin{array}{cccc} 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b \end{array}\right|

解 将该行列式的第 2 行乘以 ( -1 ) 加到第 1 行, 再将第 4 行乘以 (−1)(-1) 加到第 3 行, 得

D=∣aa0011−a1100bb1111−b∣D=\left|\begin{array}{cccc} a & a & 0 & 0 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 0 & 0 & b & b \\ 1 & 1 & 1 & 1-b \end{array}\right|

从第 1 行提出 aa 后, 将第 1 行的 (−1)(-1) 倍加到第 2 行及第 4 行, 再按第 1 列，第 2 列展开得

D=a∣11000−a1100bb0011−b∣=−a2∣bb11−b∣=a2b2D=a\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -a & 1 & 1 \\ 0 & 0 & b & b \\ 0 & 0 & 1 & 1-b \end{array}\right|=-a^2\left|\begin{array}{cc} b & b \\ 1 & 1-b \end{array}\right|=a^2 b^2

例计算

Dn=∣123⋯n−1n1−10⋯0002−2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2−n0000⋯n−11−n∣\begin{aligned} &D_n=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n \end{array}\right| \end{aligned}

解 将上面行列式第 2,3,⋯ ,n2,3, \cdots, n 列分别加到第 1 列, 得

Dn=∣n(n+1)223⋯n−1n0−10⋯0002−2⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯2−n0000⋯n−11−n∣D_n=\left|\begin{array}{cccccc} \frac{n(n+1)}{2} & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n \end{array}\right|

按第 1 列展开, 得

Dn=n(n+1)2∣−10⋯002−2⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯2−n000⋯n−11−n∣=(−1)n−1n(n+1)2(n−1)!D_n=\frac{n(n+1)}{2}\left|\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n \end{array}\right|=(-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}(n-1)!
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