8._行列式的转置

行列式的转置

将行列式的行做成列，列做成行，称为行列式的转置，记作: $D^T$ 或 $D^{\prime}$ （T表示Transformers）。 例如：

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即 $\left(D^T\right)^T=D$ 。可以发现，对行列式求 $2 n(n \geq 1)$ 次转置仍然等原行列式。

行列式转置的性质

行列式转置，其值不变，即$D^T = D$

例如

我们使用一个具体的行列式来证明他的值不变，这个证明过程使用了行列式计算最原始的定义-逆序数。如果把下面证明中使用的具体数字更改为$i,j$ 就是教科书里采用的严格证明。

对于$n$阶行列式，在 n阶行列式 里介绍了如何通过定义展开行列式。要证明行列式转置等于行列式，只要证明其每一项取数是一样的就可以了,因为数字是相同的，最主要是检验前面的符号一样，而符号是通过逆序数来决定的。

假设有一个行列式$D$如下，我们随机取行列是里的一个数字，

比如取(1)(6)(8)(9) 这四项，他的行标为 4 级标准排列行排列1234，列标排列为 列排列1423 ，所以为该项使用第一种定义展开:

现在把矩阵转置过来，仔细观察着四个数字的位置。

转置行列式 $D^T$ 中(1)(6)(8)(9)项的行标排列为行排列1423 ，列为 4 级标准排列排列1234，所以为该项使用第二种定义展开:

$a_{ji}=(-1)^{N(1432)} 1 \times 6 \times 8 \times 9$ 。

不难发现，行列式 $D$ 和其转置行列式 $D^T$ 中的(1)(6)(8)(9)项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故 $D^T=D$ 。

总之，就一句话：行列式转置和其值相等。

转置行列式满足下面的运算规律：

（i）$\left( A ^{ T }\right)^{ T }= A$ 。 （ii）$( A \pm B )^{ T }= A ^{ T } \pm B ^{ T }$ ． （iii）$(\lambda A )^{ T }=\lambda A ^{ T }$（ $\lambda$ 为实数）。 （iv）$( A B )^{ T }= B ^{ T } A ^{ T }$ ． （v）若 $A$ 是可逆矩阵，则 $\left( A ^{ T }\right)^{-1}=\left( A ^{-1}\right)^{ T }$ ．

从行列式转置的意义上理解其值

严谨证明简述：行列式按列取元素与其余子式乘的做法与按行取元素与其余子式乘后的代数和的结果是一样的。这条若可作为可接受的现有证据，这事就好办了：转置前的行取与转置后的行取就是原行列式行取与列取的关系。

我们以简单的二阶行里说为例： 在前面曾经说过，二阶行列式表示的两个向量张成的几何体体积，行列式转置后，其围成的体积并没有改变，所以其值不变。

从几何上理解，把原图形“旋转”一下再看，它的体积并没有改变。转置操作在某种程度上类似于这种“视角的转换”，它不改变变换的缩放倍率（即行列式）。