2._二阶行列式及其意义 - 线性代数

二阶行列式

行列式的想法最初来自于解线性方程组，在初中，我们学习过通过消元法解二元线性方程组，如下

\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2=b_2 \end{array}\right.

当 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0$ 时,此方程组有唯一解, 即

x_1=\dfrac{b_1 a_{22}-a_{12} b_2}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}, \quad x_2=\dfrac{a_{11} b_2-b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22}- a_{12} a_{21}}

观察上面方程的分子与分母，具有极强的对称性，如果把 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ 用下列符号表示

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}

则 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|$ 则被成为二阶行列式。

当二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right| \neq 0$

时, 上述方程组有唯一解, 其解可以表示为

x_1=\frac{\left|\begin{array}{ll} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|}, \quad x_2=\frac{\left|\begin{array}{ll} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|}

为了便于记忆，可以给出如下更简单的形式便于记忆

\begin{aligned} &\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=a d-b c \end{aligned}

即二阶行列式的值为主对角线的值减去副对角线的值。

矩阵的行列式表示法

在序言里介绍过，方程的系数可以使用矩阵表示（不含等号右边的数），比如上面的二元一次方程写成矩阵就是（矩阵英文称作 Matrix）

A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]

因为行列式要求是 $n \times n$ 必须是方的（正方形），而普通矩阵通常是 $n \times m$ 不一定是方的，因此一般矩阵并没有对应的行列式，但是如果矩阵也是 $n \times n$ 方的，此时矩阵和行列式就会产生“本质”反应。在这种情况下，矩阵对应的行列式可以简记为 $det A$ ,这里 det 是 determinant的简写，英文是行列式的意思，即矩阵A对应的行列式记做

det A= |A|

每个方阵会对应一个行列式，矩阵 $A$ 对应的行列式记做 $det A$ , 如果 $det A=0$ 则矩阵称为奇异矩阵或退化矩阵，如果 $det A \ne 0$ 则矩阵称为非奇异矩阵或非退化矩阵，这2个名字含义可以在矩阵的秩里理解。

二阶行列式的计算

二阶行列式按照定义即可直接计算。 例计算

\begin{aligned} &\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right|=1*4-2*3=-2 \end{aligned}

例计算

\begin{aligned} &\left|\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}\right|=0 \end{aligned}

在后面，会介绍二阶行列式本质表示的两个向量形成张量的面积。因此，上面这个计算相当于在 $R^2$ 二维平面上的两个向量 ${\vec{a_1}(3,4)}$ 和 ${\vec{a_2}(6,8)}$ 所形成的面积，容易看到，这2个向量坐标是成比例的，也就是这2个向量是共线的，因此面积为0，所以最终结果为0.

二阶行列式的性质

上面给出了二阶行列式的定义

\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21},\\ \end{aligned}

考虑一种特殊情况，如果令 $a_{21}=0$ ,则上述二阶行列式变形为

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{array}\right|

$|\boldsymbol{A}|$ 的值根据定义为 $a_{11} a_{22}-0 a_{21}=a_{11} a_{22}$ .

我们称上述行列式为上三角行列式, 元素 $a_{11}, a_{22}$ 为行列式的对角线元素 (或主对角元素), 于是我们得到行列式的第一个性质.

注：虽然下列性质是通过二阶行列式得到的，但是推广到 $n$ 阶行列式也成立。因此，通过二阶行列式记忆其性质，非常便于理解。

性质1 上三角行列式的值等于其对角线元素之积.

性质释义:没啥好解释，非常容易记忆

性质2 行列式某行或某列全为零, 则行列式值等于零. 比如若第一行全为零, 则显然

\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=0

性质释义:一行全文零，结果肯为零

性质3 用常数 $c$ 乘以行列式的某一行或某一列, 得到的行列式的值等于原行列式值的 $c$ 倍。

比如将 $c$ 乘以 $|\boldsymbol{A}|$ 的第一行, 我们有

\left|\begin{array}{cc} c a_{11} & c a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\left(c a_{11}\right) a_{22}-\left(c a_{12}\right) a_{21}=c|\boldsymbol{A}| .

因此，假设 $n$ 阶矩阵有公因子 $c$ ,提取出来就是 $c^n$ ，例如

\left|\begin{array}{cc} c a_{11} & c a_{12} \\ c a_{21} & c a_{22} \end{array}\right|= c^2 |\boldsymbol{A}| .

性质3易错点提醒

（1）一个常数 $k$ 乘以行列式 $|A|$ 等于常数乘以行列式的一行。

换言之，如果一个行列式有一个公约数 $k$ ，提出来应该是

\boxed{ |kA|=k^n|A| }

(2)一个常数 $k$ 乘以矩阵 $A$ 等于常数乘以矩阵的每一行。换言之，如果一个矩阵有一个公约数 $k$ ，提出来应该是

\boxed{ [kA]=k[A] }

常数乘以矩阵和行列式比较

最重要的区别：如果把常数乘到矩阵里（ $kA$ ），再求行列式，它会放大 $k^n$ 倍，而不是 $k$ 倍。

特性	常数 $k$ 乘以矩阵	常数 $k$ 乘以行列式
操作对象	矩阵本身	行列式（一个数值）的结果
操作方式	对矩阵的每一个元素乘以 $k$	对行列式的某一行（或列）的所有元素乘以 $k$
结果	一个新的、同维度的矩阵	一个新的数值
与行列式的关系	kA = k^n A	k A 本身就是最终结果
几何意义	将所有向量维度缩放 $k$ 倍	将原平行多面体的有向体积缩放 $k$ 倍
结果	导致“体积”缩放 $k^n$ 倍	导致“体积”缩放 $k$ 倍

特别的，当 $k=-1$ 时有

|-A|=(-1)^n|A|

性质4 交换行列式不同的两行 (列), 行列式的值改变符号. 证明也很容易:

\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{array}\right|=a_{21} a_{12}-a_{11} a_{22}=-\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|

同理

\left|\begin{array}{ll} a_{12} & a_{11} \\ a_{22} & a_{21} \end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|

性质释义：行列式的几何意义是向量张成的几何体的有向面积。交换两行，导致面积虽然大小不变，但是方向变了。

性质5 若行列式两行或两列成比例，则行列式的值等于零. 特别，若行列式两行或两列相同, 则行列式的值等于零.

对列成比例的情形我们可证明如下:

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & k a_{11} \\ a_{21} & k a_{21} \end{array}\right|=a_{11} k a_{21}-k a_{11} a_{21}=0

性质释义：一单有2行成比例，那么几何体就无法张成空间，自然体积坍塌为0

性质6 若行列式中某行 (列) 元素均为两项之和, 则行列式可表示为两个行列式之和。

如

\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{ll} b_{11}+c_{11} & a_{12} \\ b_{21}+c_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} c_{11} & a_{12} \\ c_{21} & a_{22} \end{array}\right| \end{gathered}

验证也非常容易，只需按照行列式定义计算等式两边的值即可. 比如需要注意的是下面的等式不成立:

\left|\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right|

性质释义：这个性质告诉我们再拆分行列式时一次只能拆分一个。

性质7 行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

比如行列式

\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12}+k a_{11} \\ a_{21} & a_{22}+k a_{21} \end{array}\right| & =a_{11}\left(a_{22}+k a_{21}\right)-a_{21}\left(a_{12}+k a_{11}\right) \\ & =a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12}=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \end{aligned}

同理可证

\left|\begin{array}{ll} a_{11}+k a_{12} & a_{12} \\ a_{21}+k a_{22} & a_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|

\begin{aligned} & \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}+k a_{11} & a_{22}+k a_{12} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \\ & \left|\begin{array}{cc} a_{11}+k a_{21} & a_{12}+k a_{22} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \end{aligned}

性质释义：性质5说了，2行成比例值为零。因此一行 $k$ 倍加上去，相当于行列式的值加上0，所以最终值不变。

设有二阶行列式

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|

$|\boldsymbol{A}|$ 的值根据定义为 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ . 我们称下列行列式为 $|\boldsymbol{A}|$ 的转置:

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right|

记为 $\left|\boldsymbol{A}^{\prime}\right|$ . 注意 $\left|\boldsymbol{A}^{\prime}\right|$ 的第一列就是 $|\boldsymbol{A}|$ 的第一行, $\left|\boldsymbol{A}^{\prime}\right|$ 的第二列就是 $|\boldsymbol{A}|$ 的第二行. 根据定义 $\left|\boldsymbol{A}^{\prime}\right|=a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12}$ , 我们发现它就等于行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值. 于是我们得到行列式的又一个性质。

性质8 行列式和其转置具有相同的值.

行列式的几何意义

一阶行列式

一阶行列式 $\left|a_1\right|=a_1$ 的意思就是 $a_1$ ，比如 |-2|=-2

$图片$

请注意：线性代数里， $|a|$ 表示的是行列式的值，可以为负数，不要和初中里的绝对值搞混淆。

二阶行列式

二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|$ 的几何意义是 $x o y$ 平面上以行向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right), \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right)$ 为邻边的平行四边形的有向面积 (见图 3-4) .

简单证明如下：不妨设向量 $\alpha_1$ 的长度（模）为 $l, \alpha_2$ 的长度（模）为 $m, \alpha_1$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\alpha, \alpha_2$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\beta$ ，如图所示．

$图片$ {width=400px}

由余弦定理，三角形面积公式 $S=\frac{1}{2} a b sin \theta$ ,所以

\begin{aligned} S_{\square O A B C} & =l \cdot m \cdot \sin (\beta-\alpha) \\ & =l \cdot m(\sin \beta \cos \alpha-\cos \beta \sin \alpha) \\ & =l \cos \alpha \cdot m \sin \beta-l \sin \alpha \cdot m \cos \beta \\ & =a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}, \\ \left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| & =a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}=S_{\square O A B C} \end{aligned}

即

\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|=a_1 b_2-a_2 b_1

因此得到证明。在上面推导里，面积是从 $a$ 转到 $b$ ，如果是从 $b$ 转到 $a$ ，因为 $sin \theta$ 是奇函数，所以值会取负号，因此，我们说他的面积是有向面积，具体那个为正那个为负，可以根据右手法则，这里不再介绍，只要记住有向面积就可以了。

结论：二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的有向面积。

二阶行列式性质的几何解释

既然明白了行列式的值是面积，那么有些性质也就明了了。

k\left|\begin{array}{ll} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} k a_1 & b_1 \\ k a_2 & b_2 \end{array}\right|

$图片$ {width=600px}

再看性质5，如果行列式两行或两列成比例，则行列式的值等于零。即

$\left|\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\ k a_1 & k a_2\end{array}\right|=0$ 。

对于两个向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2\right)$ , $\boldsymbol{b}=\left(k a_1, k a_2\right)=k\left(a_1, a_2\right)$ , 显然成比例, 也就是两个向量共线，显然围成的四边形的面积为零, 因此行列式为零。

$图片$ {width=500px}

再看性质4，二阶行列式是是表示两个向量张成的有向面积，当行列式互换两行后，张成的面积不变，但是方向正好相反，所以，行列式互换两行，行列式的值需要换号。

三阶行列式的几何意义

线性代数最大的特点是可以＂线性推广＂——下一节将介绍3阶行列式，三阶行列式 $D_3=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$ 是什么？按照上面的几何意义可以回答： $3$ 阶行列式是由三个 $3$ 维向量 $a_1=\left[a_{11}, a_{12}, a_{13}\right], a_2=\left[a_{21}, a_{22}, a_{23}\right], \quad a_3=\left[a_{31}, a_{32}, a_{33}\right]$ 组成的立体几何，其运算结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积．如图 1－2 所示．

$图片$ {width=400px}

同样， $n$ 阶行列式的几何意义就是 $n$ 个向量张成的 $n$ 为空间几何体的体积。

为什么要引入二阶行列式？

先介绍二阶行列式，是为了后面介绍三阶行列式、四阶行列式，最终是为了引入 $n$ 阶行列式。为什么引入 $n$ 阶行列式？是因为要从理论上解决一元一次方程解的问题。具体请参考附录1：线性方程组、行列式、矩阵、向量组的关系