20._线性映射与线性变换

线性映射与线性变换的区别主要是维度。维度不同叫做映射，维度相同叫做变换。 比如3维球体通过灯光照射投影到2维平面上，这叫做映射。二维平面上的圆压缩成二维平面上的椭圆，这叫做变换。

线性映射

设 Vn,UmV_n, U_m 分别是 nn 维和 mm 维线性空间，如果映射 T:Vn→UmT: V_n \rightarrow U_m 满足 (i) 任给 α1,α2∈Vn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n ，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)T\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)

(ii)任给 α∈Vn,λ∈R\boldsymbol{\alpha} \in V_n, \lambda \in R (从而 λα∈Vn\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n )，有T(λα)=λT(α)T(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha})

那么， TT 就称为从 VnV_n 到 UmU_m 的线性映射。 简言之，线性映射就是保持线性组合的对应的映射. 例如，

T:Rn→Rm,(x1x2⋮xn)→(y1y2⋮ym),T: R^n \rightarrow R^m,\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right),

其中

(y1y2⋮ym)=T(x1x2⋮xn)=(a11a12⋯a12a2na22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)(x1x2⋮xn)\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{12} \\ a_{2 n} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)

就确定了一个从 RnR^n 到 RmR^m 的映射，并且是个线性映射.

线性变换

特别地，如果在上述定义中取 Vn=UnV_n=U_n ，那么 TT 是一个从线性空间 rnr_n 到其自身的线性映射，称为线性空间 VnV_n 中的线性变换.

例设 VV 是实数域 R\mathbf{R} 上的一个线性空间，对任意的 α∈V\alpha \in V ，分别定义如下三个 V→VV \rightarrow V 的映射: (1) I(α)=αI(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha}; (2) o(α)=0o(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0} ，其中 0 是 VV 中的零向量； (3) T(α)=kαT(\boldsymbol{\alpha})=k \boldsymbol{\alpha} ，其中 k∈Rk \in \mathbf{R} 是固定的数. 则这三个映射都是线性空间 VV 上的线性变换，分别称为 VV 的恒等变换、零变换和数乘变换.

例 在线性空间 P[x]3P[x]_3 中 （1）微分运算 DD 是一个线性变换．这是因为任取

p=a3x3+a2x2+a1x+a0∈P[x]3,q=b3x3+b2x2+b1x+b0∈P[x]3,p=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0 \in P[x]_3, \quad q=b_3 x^3+b_2 x^2+b_1 x+b_0 \in P[x]_3,

则有

Dp=3a3x2+2a2x+a1,Dq=3b3x2+2b2x+b1.D p=3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1, \quad D q=3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1 .

于是

D(p+q)=D[(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)]=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)=3a3x2+2a2x+a1+3b3x2+2b2x+b1=Dp+Dq\begin{gathered} D(p+q)=D\left[\left(a_3+b_3\right) x^3+\left(a_2+b_2\right) x^2+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right)\right]=3\left(a_3+b_3\right) x^2+2\left(a_2+b_2\right) x+\left(a_1+b_1\right) \\ =3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1+3 b_3 x^2+2 b_2 x+b_1=D p+D q \end{gathered}
D(λp)=D(λa3x3+λa2x2+λa1x+λa0)=λ3a3x2+λ2a2x+λa1=λ(3a3x2+2a2x+a1)=λDpD(\lambda p)=D\left(\lambda a_3 x^3+\lambda a_2 x^2+\lambda a_1 x+\lambda a_0\right)=\lambda 3 a_3 x^2+\lambda 2 a_2 x+\lambda a_1=\lambda\left(3 a_3 x^2+2 a_2 x+a_1\right)=\lambda D p

（2）如果 T(p)=1T(p)=1 ，那么 TT 是个变换，但不是线性变换．这是因为

T(p+q)=1,T(p)+T(q)=1+1=2,T(p+q)=1, \quad T(p)+T(q)=1+1=2,

故

T(p+q)≠T(p)+T(q)T(p+q) \neq T(p)+T(q)

例 在 R2={α=(xy)∣ x,y∈R}R ^2=\left\{\left. \alpha =\binom{x}{y} \right\rvert\, x, y \in R \right\} 中定义映射 T:R2→R2T: R ^2 \rightarrow R ^2 为：T(xy)=(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(xy)T\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right)\binom{x}{y} ， 对任意的 α=(x1y1),β=(x2y2)∈R2\alpha =\binom{x_1}{y_1}, \beta =\binom{x_2}{y_2} \in R ^2 及任意实数 λ∈R\lambda \in R ，有

T(α+β)=T(x1+x2y1+y2)=(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(x1+x2y1+y2)=(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(x1y1)+(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(x2y2)=T(α)+T(β),T( \alpha + \beta )=T\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}+\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_2}{y_2}=T( \alpha )+T( \beta ),
T(λα)=T(λx1λy1)=(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(λx1λy1)=λ(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)(x1y1)=λT(α)T(\lambda \alpha )=T\binom{\lambda x_1}{\lambda y_1}=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{\lambda x_1}{\lambda y_1}=\lambda\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\binom{x_1}{y_1}=\lambda T( \alpha )

所以 TT 是 R2R ^2 上的线性变换． 这个线性变换的几何意义是：TT 将 xoyx o y 平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转 φ\varphi 角．

例 设有 nn 阶矩阵 A=(aij)=(α1,α2,⋯ ,αn)A=\left(a_{i j}\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) ，其中 αi=(a1ia2i⋮ani)\alpha _i=\left(\begin{array}{c}a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{n i}\end{array}\right) ．

例 在 R3\mathbb{R}^3 中，下列变换是否为线性变换？

σ(x1x2x3)=(x1x2+1x3)\sigma\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2+1 \\ x_3 \end{array}\right)

解：设 α,β\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} 是 R3\mathbb{R}^3 中的任意向量，kk 为任意的实数，记

α=(a1a2a3),β=(b1b2b3),\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right),

因为

σ(α+β)=(a1+b1(a2+b2)+1a3),σ(α)+σ(β)=(a1a2+1a3)+(b1b2+1b3),\begin{gathered} \sigma(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ \left(a_2+b_2\right)+1 \\ a_3 \end{array}\right), \\ \sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta})=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2+1 \\ a_3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2+1 \\ b_3 \end{array}\right), \end{gathered}

故

σ(α+β)≠σ(α)+σ(β)\sigma(\alpha+\beta) \neq \sigma(\alpha)+\sigma(\beta)

所以，σ\sigma 不是 R3\mathbb{R}^3 中的线性变换．

定义

RnR ^n 中的变换 y=T(x)y =T( x ) 为 T(x)=Ax(x∈Rn){ }^T( x )= A x \left( x \in R ^n\right) ，对任意的 α,β∈Rn\alpha , \beta \in R ^n 及任意常数 λ∈R\lambda \in R ，有

T(α+β)=A(α+β)=Aα+Aβ=T(α)+T(β),T(λα)=A(λα)=λAα=λT(α),\begin{aligned} & T( \alpha + \beta )= A ( \alpha + \beta )= A \alpha + A \beta =T( \alpha )+T( \beta ), \\ & T(\lambda \alpha )= A (\lambda \alpha )=\lambda A \alpha =\lambda T( \alpha ), \end{aligned}

因此 TT 为 RnR ^n 上的线性变换．

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