21._线性变换的性质

线性变换的性质

性质1 $T 0=0, T(-\alpha)=-T \boldsymbol{\alpha}$ ； 性质2 若 $\beta=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$ ，则 $T \boldsymbol{\beta}=k_1 T \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 T \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m T \boldsymbol{\alpha}_m$ ；

性质2反映了线性变换保持线性关系式不变

性质3 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 亦线性相关.

注意: 性质3 的逆命题是不成立的，即若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 不一定线性无关. 例如，当线性变换是零变换时， $T \boldsymbol{\alpha}_i=\mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，从而尽管 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关， 但是 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 却线性相关.

性质4 线性变换 $T$ 的像集 $T\left(V_n\right)$ 是一个线性空间，称为线性变换 $T$ 的像空间．

证明 设 $\beta _1, \beta _2 \in T\left(V_n\right)$ ，则有 $\alpha _1, \alpha _2 \in V_n$ ，使 $T \alpha _1= \beta _1, T \alpha _2= \beta _2$ ，从而

$T\left(V_n\right)$ 对 $V_n$ 中的线性运算封闭，故它是 $V_n$ 的一个线性子空间．

像空间通俗理解，你站在镜子前面，镜子里的空间就是你的像空间。

性质5 使 $T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 的 $\boldsymbol{\alpha}$ 的全体 $S_T=\left\{\boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\right\}$ 也是 $V_n$ 的一个线性子空间， 称 $S_T$ 为线性变换 $T$ 的核. 证明 $S_T \subset V_n$ ，且对任意 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in S_T$ ，有 $T \boldsymbol{\alpha}_1=\mathbf{0}, T \boldsymbol{\alpha}_2=\mathbf{0}$ ，于是

所以 $\alpha_1+\alpha_2 \in S_T ， \lambda \boldsymbol{\alpha}_1 \in S_T$. 这说明 $S_T$ 对 $V_n$ 中的线性运算封闭，所以 $S_T$ 是 $V_n$ 的一个 线性子空间. 例如，例 4 中所给的线性变换 $T$ 的像空间就是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 所生成的线性空间

而 $T$ 的核 $S_T$ 就是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间.