22._线性变换的矩阵表示式_相似矩阵 - 线性代数

线性变换的矩阵表示式

线性变换是一个很抽象的概念，如何将它具体化呢? 我们发现，如果给定线性空间 $V_n$ 的一个基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 则对 $V_n$ 中任意向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 有

\alpha=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n,

由线性变换的性质得:

T(\boldsymbol{\alpha})=k_1 T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2 T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\cdots+k_n T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right) .

于是 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $T$ 下的像就由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 所唯一确定. 而 $T(\boldsymbol{\alpha}) \in V(i=1,2, \cdots, n)$ , 所以 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right) \in V(i=1,2, \cdots, n)$ 也可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 来线性表示，即有

\left\{\begin{array}{l} T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right)=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{21} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_n, \\ T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right)=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_n, \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_1+a_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_n . \end{array}\right.

由上式得: $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}$ 其中

\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)

矩阵 $A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵. 显然，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 由基的像 $T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 唯一确定. 反之，如果给定一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作为某个线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的像，根据变换 $T$ 保持线性关系的特性，我们来推导变换 $T$ 必须满足的关系式. $V_n$ 中的任意向量记为 $\alpha=\sum_{i=1}^n x_i \alpha_l$ 有

T \boldsymbol{\alpha}=T\left(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum_{i=1}^n x_i T\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_2\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_n\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) \text {, }

即 $T\left(\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$ .

定理1

定理 1 设线性变换 $T$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的矩阵是 $A$ ，向量 $\alpha$ 与 $T( \alpha )$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的坐标分别为 $\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{array}\right)$ ，

则有

\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)= A \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) .

按坐标表示，有

T( \alpha )= A \alpha .

例在 $P[x]_3$ 中取基 $p_1=1, p_2=x, p_3=x^2, p_4=x^3$ 求微分运算 $D$ 的矩阵．

解

\left\{\begin{array}{l} D p_1=0=0 p_1+0 p_2+0 p_3+0 p_4 \\ D p_2=1=1 p_1+0 p_2+0 p_3+0 p_4 \\ D p_3=2 x=0 p_1+2 p_2+0 p_3+0 p_4 \\ D p_4=3 x^2=0 p_1+0 p_2+3 p_3+0 p_4 \end{array}\right.

所以 $D$ 在这组基下的矩阵为

A =\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

例设 $R^3$ 上线性变换 $T$ 定义为 $T\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 x_1-x_2 \\ x_2+x_3 \\ 2 x_1\end{array}\right)$ , 分别求 $T$ 在基

\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{e}_3=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text { 与基 } \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \text { 下的矩阵. }

\begin{aligned} & T\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)=2 \boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right), \\ & T\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)=0 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \\ & T\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)=-\boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \end{aligned}

\text { 可得 } T\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right) \text {, }

$T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为

\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}\right) .

可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵.

例 已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 把基

\boldsymbol{\varepsilon}_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\varepsilon}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\varepsilon}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}

变为

\boldsymbol{\eta}_1=(1,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_2=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_3=(1,0,0)^{\mathrm{T}} \text {, }

试求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵。解法一：可用观察法将基的像分别表示为基的线性组合。由于 $\mathbb{R}^3$ 中基 $\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \boldsymbol{\varepsilon}_3$ 在线性变换 $\sigma$ 下的像分别为

\begin{aligned} & \sigma\left(\varepsilon_1\right)=(1,0,2)^{\mathrm{T}}=\varepsilon_1+\varepsilon_3, \\ & \sigma\left(\varepsilon_2\right)=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}=-\varepsilon_1+2 \varepsilon_2, \\ & \sigma\left(\varepsilon_3\right)=(1,0,0)^{\mathrm{T}}=\varepsilon_1-\varepsilon_3, \end{aligned}

即

\sigma\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)

故 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为

A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)

解法二：若不易看出基的像表示为基的线性组合的系数时，常常用解方程组的方法求出。为此设基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 在线性变换 $\sigma$ 下的像分别为

\begin{aligned} & \sigma\left(\boldsymbol{\varepsilon}_1\right)=x_{11} \boldsymbol{\varepsilon}_1+x_{21} \boldsymbol{\varepsilon}_2+x_{31} \boldsymbol{\varepsilon}_3, \\ & \sigma\left(\boldsymbol{\varepsilon}_2\right)=x_{12} \boldsymbol{\varepsilon}_1+x_{22} \boldsymbol{\varepsilon}_2+x_{32} \boldsymbol{\varepsilon}_3, \\ & \sigma\left(\boldsymbol{\varepsilon}_3\right)=x_{13} \boldsymbol{\varepsilon}_1+x_{23} \boldsymbol{\varepsilon}_2+x_{33} \boldsymbol{\varepsilon}_3, \end{aligned}

将 $\boldsymbol{\varepsilon}_i, \boldsymbol{\eta}_j$ 的分量代人上式，解之得

x_{11}=x_{13}=x_{31}=1, x_{12}=x_{33}=-1, x_{21}=x_{23}=x_{32}=0, x_{22}=2 .

即

\begin{aligned} & \sigma\left(\varepsilon_1\right)=(1,0,2)^{\mathrm{T}}=\varepsilon_1+\varepsilon_3, \\ & \sigma\left(\varepsilon_2\right)=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}=-\varepsilon_1+2 \varepsilon_2, \\ & \sigma\left(\varepsilon_3\right)=(1,0,0)^{\mathrm{T}}=\varepsilon_1-\varepsilon_3, \end{aligned}

从而

\left(\sigma\left(\varepsilon_1\right), \sigma\left(\varepsilon_2\right), \sigma\left(\varepsilon_3\right)\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right),

故 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为

A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)

例 设 $\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2\right)$ 为平面上的一直角坐标系，线性变换 $\sigma$ 是平面上的向量对第一和第三象限分角线的垂直投影，求线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 下的矩阵。

解：由线性变换 $\sigma$ 的定义可知

\sigma\left(\varepsilon_1\right)=\sigma\left(\varepsilon_2\right)=\frac{1}{2} \varepsilon_1+\frac{1}{2} \varepsilon_2,

故线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 下的矩阵为

A=\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right)

线性变换在不同基下矩阵间的关系

设线性空间 $V_n$ 中取定两个基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ ，由基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 的过渡矩阵为 $P , ~ V_n$ 中的线性变换 $T$ 在这两个基下的矩阵依次为 $A$ 和 $B$ ，那么 $B = P ^{-1} A P$ ．

证明按定理的假设，有

\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) P ,

$P$ 可逆，及

T\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) A , T\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right) B ,

于是

\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right) B =T\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=T\left[\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) P \right]=\left[T\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\right] P =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) A P =\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right) P ^{-1} A P

因为 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 线性无关，所以 $B = P ^{-1} A P$ ．

这定理表明 $B$ 与 $A$ 相似，且两个基之间的过渡矩阵 $P$ 就是相似变换矩阵．

例设 $R^3$ 上线性变换 $T$ 在基 $e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), e_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), e_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $T$ 在基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$ 下的矩阵．

解：为了求出 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵，必须先求出从基 $e_1, e_2, e_3$ 到基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵 $P$ ．

由 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right)=\left( e _1, e _2, e _3\right) P$ 易知 $\quad P =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right), \quad P ^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right)$ ． $T$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 下的矩阵为 $\quad B = P ^{-1} A P =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7 & 8 & -4 \\ -4 & -5 & 2 \\ -4 & -4 & 1\end{array}\right)$ ．

定义

线性变换的像空间 $T\left(V_n\right)$ 的维数，称为线性变换 $T$ 的秩. 显然，若 $\boldsymbol{A}$ 是 $T$ 的矩阵，则 $T$ 的秩就是 $R(\boldsymbol{A})$ . 若 $T$ 的秩为 $r$ ，则 $T$ 的核 $S_T$ 的维数为 $n-r$ .