注意：从本节开始，将进行线性代数非常抽象概念的核心地带，必须细细品读。
线性相关与线性无关的通俗解释 举一个简单的例子: 甲，乙，丙，丁，小周五个同学去野炊，其中甲，乙，丙，丁四人分别擅长搭帐篷，钓鱼，生火，做饭，而小周是全能，如果每个任务只能要一个人，这四人必有一人滥竽充数。
但是"这个滥竽充数的锅究竟在谁"是未知的: 可能是甲滥竽充数，因为小周可以代替甲的搭帐篷的工作，导致甲无事可做；也可能是小周滥竽充数，因为如果甲，乙，丙，丁四人各司其职，那么小周就在滥竽充数。那这个这个滥竽充数的原因是什么? 是因为某人的工作能被其他人代替。
那向量之间的线性相关是什么? 类似上面的案例，一组向量 v 1 , v 2 , v 3 , … , v n v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n v 1 , v 2 , v 3 , … , v n
∃ v k : v k = c 1 s 1 + c 2 v 2 + … + c k − 1 v k − 1 + c k + 1 v k + 1 + … + c n v n \exists v_k: v_k=c_1 s_1+c_2 v_2+\ldots+c_{k-1} v_{k-1}+c_{k+1} v_{k+1}+\ldots+c_n v_n ∃ v k : v k = c 1 s 1 + c 2 v 2 + … + c k − 1 v k − 1 + c k + 1 v k + 1 + … + c n v n 不难看出这里是 v k v_k v k v 1 , v 2 , … , v k − 1 , v k + 1 , … , v n v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n v 1 , v 2 , … , v k − 1 , v k + 1 , … , v n
线性相关 = 有“替身” (队伍里有可以被其他人完全替代或组合出来的成员，它是多余的)。
线性无关 = 都是“唯一” (队伍里每个成员都身怀绝技，缺一不可，没人能顶替别人的位置)。
再如 盐（提供咸味） 和 糖（提供甜味） 线性无关 。因为你无法只用盐调出甜味，也无法只用糖调出咸味。盐和糖代表了两种独立、不可互相替代的基本味觉方向（咸和甜）。
但是，盐（提供咸味）、 糖（提供甜味） 和 酱油（咸+鲜）线性相关 。酱油的味道可以被盐（提供咸）和糖（提供甜）组合出来吗？不能完全一样（酱油还有鲜味），但酱油的咸味部分是冗余的！酱油的咸味依赖于盐的存在。更关键的是，酱油的味道 不是独立于盐和糖的，它建立在咸（和鲜）的基础上。虽然酱油有额外的鲜味，但就“咸”这个维度而言，它与盐是相关的。数学上，可以考虑“咸度”分量，盐有咸度，酱油也有咸度（且无法仅用糖表示），糖没有咸度。但盐和酱油的咸度分量是线性相关的（一个倍数关系）。组合 酱油 - k * 盐 (k是某个系数) 会得到一个没有咸味（可能只有鲜味）的向量，这说明了它们在这个风味分量上的相关性。
酱油在“咸”这个风味维度上不是独立的，它依赖于盐所提供的咸味基础，如果目标是控制纯咸度，盐是更基础、更独立的向量。
关于线性相关与线性无关更通俗的解释清参考 极大无关组的几何意义
线性相关与线性无关的定义 设有 m m m n n n α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1, k_2, \cdots, k_m k 1 , k 2 , ⋯ , k m
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关 ；
若当且仅当 k 1 = k 2 = ⋯ = k m = 0 k_1=k_2=\cdots=k_m=0 k 1 = k 2 = ⋯ = k m = 0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性无关 .
下面给出一些线性相关的例子:
两个向量线性相关: 两个向量：( 1 2 ) \binom{1}{2} ( 2 1 ) ( 2 4 ) \binom{2}{4} ( 4 2 )
可以发现 ( 2 4 ) = 2 ( 1 2 ) ， ( 1 2 ) = 1 2 ( 2 4 ) ， \binom{2}{4}=2\binom{1}{2} ，\binom{1}{2}=\frac{1}{2}\binom{2}{4} ， ( 4 2 ) = 2 ( 2 1 ) ， ( 2 1 ) = 2 1 ( 4 2 ) ，
三个向量线性相关: ( 1 2 3 ) , ( 2 0 4 ) 和 ( 4 0 8 ) \left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right) \text { 和 }\left(\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
8
\end{array}\right) 1 2 3 , 2 0 4 和 4 0 8 其中 ( 4 0 8 ) \left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right) 4 0 8 ( 1 2 3 ) \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) 1 2 3 ( 2 0 4 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) 2 0 4 ( 4 0 8 ) = 2 ( 2 0 4 ) + 0 ( 1 2 3 ) \left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) 4 0 8 = 2 2 0 4 + 0 1 2 3
但是这个例子出的很巧，巧在其中 ( 4 0 8 ) \left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right) 4 0 8 ( 2 0 4 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) 2 0 4
首先，如果三个向量 v 1 , v 2 , v 3 v_1, v_2, v_3 v 1 , v 2 , v 3 v 1 , v 2 v_1, v_2 v 1 , v 2 v 1 = k v 2 v_1=k v_2 v 1 = k v 2 v 2 = k v 1 v_2=k v_1 v 2 = k v 1 v 1 = k v 2 + 0 v 3 v_1=k v_2+0 v_3 v 1 = k v 2 + 0 v 3 v 2 = k v 1 + 0 v 3 v_2=k v_1+0 v_3 v 2 = k v 1 + 0 v 3
不过反过来，如果三个向量线性相关，是不是意味着其中一定有 2 个向量线性相关呢？答案是：不！举个例子: ( 2 0 4 ) ， ( 1 2 3 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) ，\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) 2 0 4 ， 1 2 3 ( 3 2 7 ) \left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right) 3 2 7 ⋅ ( 3 2 7 ) = ( 1 2 3 ) + ( 2 0 4 ) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) ⋅ 3 2 7 = 1 2 3 + 2 0 4
那么理解了线性相关的定义，我们来验证一组向量是否是线性相关:
例( 2 0 4 ) , ( 1 1 1 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) 2 0 4 , 1 1 1 ( 2 2 2 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) 2 2 2
解：首先我们要判断: ( 2 0 4 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) 2 0 4 ( 1 1 1 ) \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) 1 1 1 ( 2 2 2 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) 2 2 2 ( 2 0 4 ) = t 1 ( 1 1 1 ) + t 2 ( 2 2 2 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) 2 0 4 = t 1 1 1 1 + t 2 2 2 2 t 1 + 2 t 2 = 2 , t 1 + 2 t 2 = 0 t_1+2 t_2=2, t_1+2 t_2=0 t 1 + 2 t 2 = 2 , t 1 + 2 t 2 = 0 t 1 + 2 t 2 = 4 t_1+2 t_2=4 t 1 + 2 t 2 = 4 ( 1 1 1 ) \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) 1 1 1 ( 2 2 2 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) 2 2 2 ( 2 0 4 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) 2 0 4 ( 1 1 1 ) = 1 2 ( 2 2 2 ) + 0 ( 2 0 4 ) \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) 1 1 1 = 2 1 2 2 2 + 0 2 0 4
虽然找到了结果，但是这种方法操作性非常差，原因是需要一个个向量逐一验证是否能被其他向量线性结合表示。如果我们有 n n n n n n
那有没有操作性很强的证明线性相关的方法，可以参照下面这个定义:
判断线性相关的推论 只要存在一个不为 0 的数t i t_i t i t 1 v 1 + t 2 v 2 + … + t n v n = 0 t_1 v_1+t_2 v_2+\ldots+t_n v_n=0 t 1 v 1 + t 2 v 2 + … + t n v n = 0 t 1 , t 2 , … , t n t_1, t_2, \ldots, t_n t 1 , t 2 , … , t n t 1 v 1 + t 2 v 2 + … + t n v n = 0 t_1 v_1+t_2 v_2+\ldots+t_n v_n=0 t 1 v 1 + t 2 v 2 + … + t n v n = 0 。
我们对比两个线性相关的定义：
在第一个定义，我们有 n − 1 n-1 n − 1 n n n
第二个定义看上去比较难理解，但是我们能证明它与第一个定义的等价性：
虽然这个新的定义看上去没有任何的解释性，但是操作性很强，比如对于上面同样的例子，如果用新的定义去处理，会简便不少，我们接下里会用之前的例子去证明这一点：
例 同上例 ( 2 0 4 ) , ( 1 1 1 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) 2 0 4 , 1 1 1 ( 2 2 2 ) \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) 2 2 2
解：首先我们可以假设三个实数 t 1 , t 2 , t 3 t_1, t_2, t_3 t 1 , t 2 , t 3
t 1 ( 2 0 4 ) + t 2 ( 1 1 1 ) + t 3 ( 2 2 2 ) = ( 0 0 0 ) ⇒ { 2 t 1 + t 2 + 2 t 3 = 0 t 2 + 2 t 3 = 0 4 t 1 + t 2 + 2 t 3 = 0 t_1\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)+t_3\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 t_1+t_2+2 t_3=0 \\
t_2+2 t_3=0 \\
4 t_1+t_2+2 t_3=0
\end{array}\right. t 1 2 0 4 + t 2 1 1 1 + t 3 2 2 2 = 0 0 0 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ 2 t 1 + t 2 + 2 t 3 = 0 t 2 + 2 t 3 = 0 4 t 1 + t 2 + 2 t 3 = 0 最后我们可以发现一组不全为零的 t 1 = 0 , t 2 = − 2 , t 3 = 1 t_1=0, t_2=-2, t_3=1 t 1 = 0 , t 2 = − 2 , t 3 = 1
提示：这样，我们把对线性相关与线性无关的判断转移到求方程组的解上面来了。
定理1 n n n α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m
推论1
令
α 1 = ( a 11 a 21 ⋮ a n 1 ) , α 2 = ( a 12 a 22 ⋮ a n 2 ) , ⋯ , α m = ( a 1 m a 2 m ⋮ a n m ) \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n 1}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{n 2}
\end{array}\right), \cdots, \quad \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\begin{array}{c}
a_{1 m} \\
a_{2 m} \\
\vdots \\
a_{n m}
\end{array}\right) α 1 = a 11 a 21 ⋮ a n 1 , α 2 = a 12 a 22 ⋮ a n 2 , ⋯ , α m = a 1 m a 2 m ⋮ a nm 则向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m r ( A ) < m r(\boldsymbol{A})<m r ( A ) < m α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m α 1 , α 2 , ⋯ , α m r ( A ) = m r(\boldsymbol{A})=m r ( A ) = m
A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α m ) . \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) . A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α m ) . 例对于向量组 α 1 = ( 1 1 1 ) , α 2 = ( 2 2 2 ) , α 3 = ( 3 5 7 ) \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right) α 1 = 1 1 1 , α 2 = 2 2 2 , α 3 = 3 5 7 2 , − 1 , 0 2,-1,0 2 , − 1 , 0 2 α 1 − α 2 + 0 α 3 = 2 ( 1 1 1 ) − ( 2 2 2 ) + 0 ⋅ ( 3 5 7 ) = 0 2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3=2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0 \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)=\mathbf{0} 2 α 1 − α 2 + 0 α 3 = 2 1 1 1 − 2 2 2 + 0 ⋅ 3 5 7 = 0
所以向量组 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3
例设有向量组 α 1 = ( 1 2 1 ) , α 2 = ( 2 1 − 1 ) , α 3 = ( 1 3 2 ) \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) α 1 = 1 2 1 , α 2 = 2 1 − 1 , α 3 = 1 3 2 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3
解：按照向量组线性相关和线性无关的定义，我们只需验证使得等式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k 1 , k 2 , k 3 k_1, k_2, k_3 k 1 , k 2 , k 3 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0} k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0
( α 1 , α 2 , α 3 ) ( k 1 k 2 k 3 ) = 0 , 即 ( 1 2 1 2 1 3 1 − 1 2 ) ( k 1 k 2 k 3 ) = 0 \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{array}\right)=\mathbf{0} \text {, 即 }\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{array}\right)=\mathbf{0} ( α 1 , α 2 , α 3 ) k 1 k 2 k 3 = 0 , 即 1 2 1 2 1 − 1 1 3 2 k 1 k 2 k 3 = 0 于是，问题转化为齐次线性方程组
( 1 2 1 2 1 3 1 − 1 2 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = 0 \left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\mathbf{0} 1 2 1 2 1 − 1 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 0 是有非零解, 还是只有零解. 如果只有零解，则 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 ∣ 1 2 1 2 1 3 1 − 1 2 ∣ = ∣ 1 2 1 2 1 3 2 1 3 ∣ = 0 \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|=0 1 2 1 2 1 − 1 1 3 2 = 1 2 2 2 1 1 1 3 3 = 0 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3
总结：在逆矩阵里介绍过，判断矩阵方程A X = 0 AX=0 A X = 0 A A A A A A A A A 行列式解的判断
提示2：对线性相关与线性无关的判断又转移到行列式是否为零
如果 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣ A ∣ = 0 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\ne 0 ∣ A ∣ = 0
标准正交向量组 对于向量组 e 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) , e 2 = ( 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , e n = ( 0 0 ⋮ 1 ) \boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{e}_n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) e 1 = 1 0 ⋮ 0 , e 2 = 0 1 ⋮ 0 , ⋯ , e n = 0 0 ⋮ 1 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1, k_2, \cdots, k_n k 1 , k 2 , ⋯ , k n
k 1 e 1 + k 2 e 2 + ⋯ + k n e n = k 1 ( 1 0 ⋮ 0 ) + k 2 ( 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + k n ( 0 0 ⋮ 1 ) = ( k 1 k 2 ⋮ k n ) . k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n=k_1\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+\cdots+k_n\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right) . k 1 e 1 + k 2 e 2 + ⋯ + k n e n = k 1 1 0 ⋮ 0 + k 2 0 1 ⋮ 0 + ⋯ + k n 0 0 ⋮ 1 = k 1 k 2 ⋮ k n . 显然，当且仅当 k 1 = k 2 = ⋯ = k n = 0 k_1=k_2=\cdots=k_n=0 k 1 = k 2 = ⋯ = k n = 0 k 1 e 1 + k 2 e 2 + ⋯ + k n e n = 0 k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0} k 1 e 1 + k 2 e 2 + ⋯ + k n e n = 0 e 1 , e 2 , ⋯ , e n \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n e 1 , e 2 , ⋯ , e n
特别地，
(1) 当向量组只含有一个向量 α \boldsymbol{\alpha} α α ≠ 0 \boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0} α = 0 k = 0 k=0 k = 0 k α = 0 k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} k α = 0 α \boldsymbol{\alpha} α α = 0 \alpha=\mathbf{0} α = 0 k k k k α = 0 k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} k α = 0 α \boldsymbol{\alpha} α
例 证明: 任一含有零向量的向量组必定线性相关.
证明
设向量组 A : 0 , α 1 , α 2 , ⋯ α m A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m A : 0 , α 1 , α 2 , ⋯ α m n n n k k k
k 0 + 0 ⋅ α 1 + 0 ⋅ α 2 + ⋯ + 0 ⋅ α m = 0 k \mathbf{0}+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} k 0 + 0 ⋅ α 1 + 0 ⋅ α 2 + ⋯ + 0 ⋅ α m = 0 所以向量组 A : 0 , α 1 , α 2 , ⋯ α m A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m A : 0 , α 1 , α 2 , ⋯ α m
例已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α 1 , α 2 , α 3 β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 1 \beta_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1 β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 1 β 1 , β 2 , β 3 \beta_1, \beta_2, \beta_3 β 1 , β 2 , β 3 k 1 β 1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 = 0 k_1 \boldsymbol{\beta}_1+k_2 \boldsymbol{\beta}_2+k_3 \boldsymbol{\beta}_3=0 k 1 β 1 + k 2 β 2 + k 3 β 3 = 0 β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 1 \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1 β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3 , β 3 = α 3 + α 1
( k 1 + k 3 ) α 1 + ( k 1 + k 2 ) α 2 + ( k 2 + k 3 ) α 3 = 0 \left(k_1+k_3\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(k_1+k_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\left(k_2+k_3\right) \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0} ( k 1 + k 3 ) α 1 + ( k 1 + k 2 ) α 2 + ( k 2 + k 3 ) α 3 = 0 所以只有零解 k 1 = k 2 = k 3 = 0 k_1=k_2=k_3=0 k 1 = k 2 = k 3 = 0 β 1 , β 2 , β 3 \beta_1, \beta_2, \beta_3 β 1 , β 2 , β 3
例 令 α 1 = [ 1 2 3 ] , α 2 = [ 4 5 6 ] , α 3 = [ 2 1 0 ] \alpha _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \alpha _2=\left[\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right], \alpha _3=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] α 1 = 1 2 3 , α 2 = 4 5 6 , α 3 = 2 1 0 α 1 , α 2 , α 3 \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 α 1 , α 2 , α 3 α 1 , α 2 , α 3 \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 α 1 , α 2 , α 3 x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = 0 x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+x_3 \alpha _3= 0 x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = 0
x 1 [ 1 2 3 ] + x 2 [ 4 5 6 ] + x 3 [ 2 1 0 ] = [ 0 0 0 ] . . . ( 3 ) x_1\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l}
4 \\
5 \\
6
\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right] ...(3) x 1 1 2 3 + x 2 4 5 6 + x 3 2 1 0 = 0 0 0 ... ( 3 ) 对其增广矩阵进行初等行变换，得
[ 1 4 2 0 2 5 1 0 3 6 0 0 ] → [ 1 4 2 0 0 − 3 − 3 0 0 0 0 0 ] . . . ( 4 ) \left[\begin{array}{llll}
1 & 4 & 2 & 0 \\
2 & 5 & 1 & 0 \\
3 & 6 & 0 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 2 & 0 \\
0 & -3 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] ...(4) 1 2 3 4 5 6 2 1 0 0 0 0 → 1 0 0 4 − 3 0 2 − 3 0 0 0 0 ... ( 4 ) 其中，x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 3 x_3 x 3 α 1 , α 2 , α 3 \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 α 1 , α 2 , α 3
为确定 α 1 , α 2 , α 3 \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 α 1 , α 2 , α 3
[ 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ] , \left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right], 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 , 即
{ x 1 − 2 x 3 = 0 , x 2 + x 3 = 0 , 0 = 0. \left\{\begin{aligned}
x_1 \quad-2 x_3 & =0, \\
x_2+x_3 & =0, \\
0 & =0 .
\end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧ x 1 − 2 x 3 x 2 + x 3 0 = 0 , = 0 , = 0. 若取 x 3 = 5 x_3=5 x 3 = 5 x 1 = 10 , x 2 = − 5 x_1=10, x_2=-5 x 1 = 10 , x 2 = − 5 α 1 , α 2 , α 3 \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3 α 1 , α 2 , α 3
10 α 1 − 5 α 2 + 5 α 3 = 0 10 \alpha _1-5 \alpha _2+5 \alpha _3= 0 10 α 1 − 5 α 2 + 5 α 3 = 0 可以看出，在向量空间 R n R ^n R n A A A A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] , A x = 0 A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right], A x = 0 A = [ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ] , A x = 0
x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0. x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\cdots+x_n \alpha _n= 0 . x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0. 因此， A A A A x = 0 A x = 0 A x = 0 A A A A x = 0 A x = 0 A x = 0