13._代数重根与几何重根

代数重根与几何重根

在特征子空间的几何意义里，介绍了代数重根与几何重根。

这里有2个结论：如果代数重根不同时，特征向量一定是线性相关的，如果代数重根有相同的时，特征向量可能线性相关也可能线性无关。上面已经进行了解释。这里从分式方程进行再理解一下。

我们看一个初中数学分式题

例$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}$ 解： $\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}$ 去分母得: $(x-2)^2-16=(x+2)^2$, 整理得: $8 x=-16$, 解得: $x=-2$ 经检验: $x=-2$ 是原方程的增根, $\therefore$ 原方程无解.

我们在解分式方程时，都是把分式销掉，转换为代数式进行计算，这个过程，扩大的解的范围，因此，再解出来时，需要再次验证一下。

同样的，我们在求解特征向量时，使用的是几何重根，但是却是按照代数重根进行计算，这扩大的解的范围，导致求出来的向量，有时候线性相关，有时候线性无关。

代数重数：就是特征多项式的根的重数，即 $\operatorname{det}\left(\lambda I _n- A \right)=\left(\lambda-\lambda_1\right)^{m_1}\left(\lambda-\lambda_2\right)^{m_2} \cdots\left(\lambda-\lambda_s\right)^{m_s}$ 的解。

几何重数，是特征矩阵 $(|\lambda E-A|)$ 零空间的维数

代数重根和几何重根的关系可以概括如下

如果矩阵A的$n$个特征值都不相同，那么A必然存在$n$个线性无关的特征向量（A能够被对角化）, 如果存在相同的特征值，可能存在也可能不存在$n$个线性无关特质向量。因为n个特征值不一定含n个特征向量。即如果存在n个线性无关的特征向量，则能够对角化；如果不存在n个线性无关的特征向量，则不能对角化。(几何重数小于代数重数)

下面通过两个例题说明，因为在前面已经介绍了求特征值的方法，因此，这里给出简略解答。

例求矩阵

的特征值及特征向量, 并说明其几何意义。 解 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程:

得到特征值 $\lambda_1=-2, \lambda_2=\lambda_3=1$ 。 然后分别求出他的基础解系基础解系求法见此处

①把 $\lambda_1=-2$ 代入式 $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 得到齐次线性方程组:

它的基础解系为 $\xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$。所以对应于 $\lambda_1=-2, \boldsymbol{A}$ 的全部特征向量为

如图 5-44 所示, 过向量 $\xi$ 作直线 $L$, 则以原点 $o$ 为起点, 以 $L$ 上除 $o$ 点以外的任意点为终点的向量 $c \xi$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2 的特征向量。它们全体构成 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2的特征向量子空间。此向量空间中的任意向量 $\boldsymbol{x}$ 受矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作用后成为向量 $-2 \boldsymbol{x}$, 它仍然位于直线 $L$上, 只是方向与 $\boldsymbol{x}$ 相反, 大小为 $\boldsymbol{x}$ 的 2 倍。

②把$\lambda_2=\lambda_3=1$ 代入式 $(A-\lambda E) x=0$ 得到齐次线性方程组:

它的基础解系为 $\xi_1=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$。

所以对应于特征值 $\lambda_2=\lambda_3=1$,

$\boldsymbol{A}$ 的全部特征向量为

( $c_1, c_2$ 为不同时等于 0 的实数) 特征子空间为一平面, 如图 5-45 所示的平面 $\Pi$ 。

如图 5-45 所示, 过向量 $\xi_1, \xi_2$ 作平面 $\Pi$, 则以原点 $o$ 为起点, 以 $\Pi$ 上除 $o$ 点以外的任意点为终点的向量 $c_1 \xi_1+c_2 \xi_2$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值为 1 的特征向量，它们的全体构成 $\boldsymbol{A}$ 的关于 1 的特征向量子空间。此向量平面空间中的任意一个向量 $\boldsymbol{x}$ 受矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作用后没有任何变换，或者说它仍然位于平面 $\Pi$ 上，方向、大小均不改变。

从上例我们已清楚地看到， $\boldsymbol{A}$ 的特征向量空间中位于某直线上的特征向量，受 $\boldsymbol{A}$ 作用后得到的向量有着仍然位于该直线上的几何特征。

以上举的例子都局限于三维线性空间，同样可推广到 $n$ 维线性空间。 因此，对于某一个特征值，其特征空间可以是一条直线，也可以是一个平面，亦或是更高维的空间。

特征值的代数及几何重数的意义

上面的例子里，在特征多项式方程 $|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0$ 中，特征值为 -2 的求解因子式 $(\lambda+2)$ 是一次的，对应的特征子空间——直线的维数是一维的；特征值为 1 的求解因子式 $(\lambda-1)^2$ 是二次的，对应的特征子空间——平面的维数是二维的。

这里有个术语, 一个特征值的求解因式的次数被称之为代数重数, 特征值的特征子空间的维数被称之为几何重数。

所以上面矩阵例子里, 特征值-2 的代数重数和几何重数都是 1 ；特征值 1 的代数重数和几何重数都是2。

这个结论对一般的矩阵成立吗？不。

正确的结论是, 特征值的代数重数大于或等于几何重数。

因为有时候代数重数 $\geqslant 2$ 的特征值，它的特征向量子空间会亏损——子空间会重合，子空间重合不是子空间直和，所以特征子空间的维数会变小，也就是几何重数可能 $\leqslant 2$ 。

举个例子。对于三角矩阵:

$a$ 的特征向量子空间是 $k\binom{1}{0}$, 这是一条直线 即$x_1$ 坐标轴; $b$ 的特征向量子空间是 $k\binom{1}{b-a}$,这也是一条直线。 $a$ 和 $b$ 的代数重数和几何重数都是 1 。

然而, 当 $b$ 的值逐渐接近于 $a$ 的值, 即 $b \rightarrow a$ 时, $b$ 的特征向量子空间逐渐接近于 $a$ 的特征向量子空间, 即 $k\binom{1}{b-a} \rightarrow k\binom{1}{0}$ 。

当 $b$ 等于 $a$ 时, 特征值合二为一, 同时特征子空间也合二为一一一两根线重合为一根线,特征子空间亏损了。这时, 矩阵特征值的重数为 2 , 但特征子空间的维数仍然是 1 , 即几何重数是 1 。

再如我们通过解方程 $det(A - λI) = 0$ 来找到特征值。这个方程会变成一个多项式方程，例如：$(λ - 2)^3 * (λ - 5) = 0$ 那么，对于特征值 $λ=2$， 我们去求它的特征向量，也就是解方程 $(A - 2I)x = 0$。 这个方程的所有解构成一个空间（叫特征空间）。这个空间有多大？它的“维度”就是几何重数。 比如，如果我们能找到2个独立的、方向不同的特征向量（比如 $[1, 0]$ 和 $[0, 1]$），它们张成了一个二维平面，那么几何重数就是 2。 如果我们只能找到1个方向的特征向量（比如 $[1, 0]$），所有其他特征向量都只是它的缩放，它们只张成一条一维直线，那么几何重数就是 1。

一个极端的例子是 $n$ 阶三角矩阵:

这个矩阵只有一个特征值 $a$, 代数重数为 $n$, 其特征子空间是一根直线 (即 $x_1$ 轴), 几何重数是1