14._对称矩阵的特征值与特征向量

请跟上我们的步骤：本章内容大致架构如下：给出一个矩阵AA，这个矩阵A是任意的，然后介绍如何找到他的特征值与特征向量，然后给出矩阵相似的定义（A∼BA \sim B），有了特征值与特征向量可以很容易找到矩阵的相似矩阵。 进一步的，在相似里我们希望矩阵A可以和对角形相似，即A∼ΛA \sim \Lambda，然后我们研究后发现，不是每个矩阵都可以和对角形相似，我们得到的一个结论：如果AA有不同特征值，肯定可以和对角形相似。但是这个条件还是太强不容易发现。我们进行研究，最后发现如果矩阵A是对称矩阵，则他一定可以和对角形相似，因此，我们专门把对称矩阵拿过来研究。

对称矩阵

首先，让我们回顾一下什么是对称矩阵。我希望你已经熟悉了这个概念。对称矩阵在线性代数处理中，占据非常重要的位置。 先看定义：

AT=AA^T=A

一个矩阵如果转置后是他本身，那么这个矩阵就是对称矩阵。 让我们举一个简单的例子来确保你明白这个概念。

A=[13−1320−104]A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{array}\right]

转置后，也可以理解为通过对角线进行旋转得到。

AT=[13−1320−104]A^T=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 4 \end{array}\right]

可以看到转置后的矩阵 ATA ^T 和原矩阵 AA 相同。 那么问题来了，为什么我们现在要重温这个基本概念呢？ 问题在于, 如果矩阵是对称的, 那么在我们进行特征值分解时, 它就具有一个非常有用的性质。在说明它如何有用之前，让我们先了解矩阵对称时的基本特性。

如果 AA 是对称矩阵，那么:1. 矩阵 AA 特征值为实数2. 矩阵 AA 的特征向量是正交向量。

我们会在下一节会专门介绍实对称矩阵的对角化。总之，本节你需要记住三个核心结论即可：

（1）对称矩阵的特征值都是实数。 （2）对称矩阵的特征向量互相垂直。 （3） 实对称矩阵必定相似对角形。

为什么矩阵对称时会有这样的特性？让我们来看看证明。

证明1：对称矩阵特征值为实数

Ax=λxA x=\lambda x

基本概念与定理：

  1. 如果矩阵 AA 的元素是实数（即 AA 是实矩阵）, 则特征方程的系数也都是实数。这时，复特征值成对出现，且互为复共轴。例如：如果 λ1=a+bi\lambda_1=a+b i 是特征值，则 λ2=a−bi\lambda_2=a-b i 也是特征值

  2. 向量的复共轭定义 vi=a+bi⇒vi‾=a−biv_i=a+b i \quad \Rightarrow \quad \overline{v_i}=a-b i

证明： ① 特征方程左右都乘 xˉT\bar{x}^T 得:

xˉTAx=xˉTλx\bar{x}^T A x=\bar{x}^T \lambda x

② 特征方程左右都取共轭得：

Ax‾=λˉxAxˉ=λˉxˉA 为实矩阵 \begin{aligned} & \overline{A x}=\bar{\lambda} x \\ & A \bar{x}=\bar{\lambda} \bar{x} \quad A \text { 为实矩阵 } \end{aligned}
xˉTAT=xˉTλˉ 转置 xˉTA=xˉTλˉA 对称 xˉTAx=xˉTλˉx 乘 x\begin{gathered} \bar{x}^T A^T=\bar{x}^T \bar{\lambda} \quad \text { 转置 } \\ \bar{x}^T A=\bar{x}^T \bar{\lambda} \quad A \text { 对称 } \\ \bar{x}^T A x=\bar{x}^T \bar{\lambda} x \quad \text { 乘 } x \end{gathered}

综合①和②：

λ=λˉ\lambda=\bar{\lambda}

所以， λ\lambda 为实数 因此, 这个证明表明, 特征值必须是实数, 才能满足等号的要求。

第 2 个性质的证明实际上要麻烦一些。下面是第二条性质的证明。

证明2：对称矩阵 AA 的特征向量是正交向量

基本概念与定理：

内积：

  1. vv 和 ww 的内积：

⟨v,w⟩=vTw\langle v, w\rangle=v^T w

  1. 如果 AA 是对称矩阵

⟨Av,w⟩=(Av)Tw=vTATw=vTAw=⟨v,Aw⟩\begin{aligned} \langle A v, w\rangle & =(A v)^T w \\ & =v^T A^T w \\ & =v^T A w \\ & =\langle v, A w\rangle \end{aligned}

由此得出:

λi!=λjλi⟨xi,xj⟩=⟨λixi,xj⟩\begin{aligned} \lambda_{i}! & =\lambda_j \\ \lambda_i\left\langle x_i, x_j\right\rangle & =\left\langle\lambda_i x_i, x_j\right\rangle \end{aligned}
=⟨Axi,xj⟩=⟨xi,Axj⟩=λj⟨xi,xj⟩λi⟨xi,xj⟩=λj⟨xi,xj⟩λi⟨xi,xj⟩−λj⟨xi,xj⟩=0(λi−λj)⟨xi,xj⟩=0⟨xi,xj⟩=0\begin{aligned} & =\left\langle A x_i, x_j\right\rangle \\ & =\left\langle x_i, A x_j\right\rangle \\ & =\lambda_j\left\langle x_i, x_j\right\rangle \\ \lambda_i\left\langle x_i, x_j\right\rangle & =\lambda_j\left\langle x_i, x_j\right\rangle \\ \lambda_i\left\langle x_i, x_j\right\rangle-\lambda_j\left\langle x_i, x_j\right\rangle & =0 \\ \left(\lambda_i-\lambda_j\right)\left\langle x_i, x_j\right\rangle & =0 \\ \left\langle x_i, x_j\right\rangle=0 & \end{aligned}

所以, 特征向量 xixjx_i x_j 正交向量 这就是矩阵对称时特征值和特征向量的特殊性质。利用这些性质，我们实际上可以以更有用的方式修改特征分解。让我们在下一节一探究竟。

证明3：对称矩阵必定存在正交矩阵

令 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n 为 AA 的特征值（重数计入），并选取对应的单位正交特征向量 q1,q2,…,qn\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n（即 ∥qi∥=1\|\mathbf{q}_i\| = 1 且两两正交）。构造正交矩阵：

Q=[q1,q2,…,qn]Q = [\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n]

则 QTQ=IQ^T Q = I（因为列向量单位正交）。

简单证明如下：构造矩阵QQ

AQ=A[q1,q2,…,qn]=[λ1q1,λ2q2,…,λnqn]=QΛA Q = A [\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \ldots, \mathbf{q}_n] = [\lambda_1 \mathbf{q}_1, \lambda_2 \mathbf{q}_2, \ldots, \lambda_n \mathbf{q}_n] = Q \Lambda

其中 Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)。 左乘 QTQ^T：

QTAQ=QTQΛ=ΛQ^T A Q = Q^T Q \Lambda = \Lambda 即：

QTAQ=ΛQ^T A Q = \Lambda

因此，AA 被正交矩阵 QQ 对角化。

结论： 对于任意实对称矩阵 AA，存在正交矩阵QQ 使得QTAQ=ΛQ^T A Q = \Lambda ，又因为 Q−1AQ=ΛQ^{-1} A Q = \Lambda 所以 QT=Q−1Q^T=Q^{-1}

上面这个结论告诉我们：对于一个实对称矩阵AA，我们可以找到一个矩阵QQ，这个矩阵QQ是对称的，而且QQ的逆等于QQ的转置。

实对称矩阵为什么可以对角化？

我们可以这样理解，方阵是一个行列式。每个行或者每个列相当于对坐标系进行缩放的倍数，如果是方程，相当于x,yx,y 都放大同样的倍数，自然图像不会变形（比如圆，同时放大或者缩小仍然是圆。 如果放大倍数不同，圆可能变成椭圆，甚至是直线，而一旦变速直线，显然他就坍塌为一维空间了，也就无法再还原了。）

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