10._矩阵与对角形_λ_相似的判定

什么是对角形矩阵？

只有主对角线的元素有值，其它元素都是零的矩阵，叫做对角形矩阵。

Λ=(a1100000a2200000a3300000…00000ann)\Lambda=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{n n} \end{array}\right)

特别的，单位矩阵EE是对角形矩阵的一个特例，对角矩阵通常简记为 diagAdiag A

在前面曾经说过，矩阵作用于向量，类似对向量实施了一次变换，在这个变换里，如果采用对角矩阵作为基，这种表示矩阵的变换最为方便。 比如

Ad=[λ1000λ2000λ3](d1d2d3)=(λ1d1λ2d2λ3d3)A d =\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \lambda_1 d_1 \\ \lambda_2 d_2 \\ \lambda_3 d_3 \end{array}\right)

对角形矩阵作用在一个向量上，相当于各个分量直接进行了变换。

因此，接下来，我们就要探寻，哪些矩阵能化为对角形矩阵，这句话还可以表述为：哪些矩阵能和对角形矩阵相似。

定理

在矩阵相似里有

P−1AP=BP^{-1}AP=B

如果这里的BB是对角形矩阵，我们就说矩阵AA 可对角化，即

P−1AP=Λ...(1)\boxed{ P^{-1}AP=\Lambda ...(1) }

如果把（1）式左右分别乘以PP 和P−1P^{-1} 则有

A=PΛP−1...(2)\boxed{ A= P \Lambda P^{-1} ...(2) }

（2）式表明，如果一个矩阵可对角化，意味着他可以分解为3个矩阵相乘。正像代数式的因式分解方便求解一样，矩阵A如果可以分解，也方便求解，因此，我们看一下哪些矩阵能够和对角形相似。

（2）式右乘PP则有

AP=PΛ...(3)\boxed{ AP= P \Lambda ...(3) }

（3）式表明，两个矩阵AP相乘等于P和Λ\Lambda 相乘

定理1 nn阶矩阵AA相似于对角形矩阵Λ\Lambda的充分必要条件是AA有nn个线性无关的特征向量。

证 必要性 设存在可逆矩阵 PP ，使得

P−1AP=ΛP^{-1} A P=\Lambda

其中

Λ=[λ1λ2⋱λn]\Lambda=\left[\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array}\right]

将矩阵 PP 按列分块，令 P=(α1,α2,⋯ ,αn)P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) ，则有

A(α1,α2,⋯ ,αn)=(α1,α2,⋯ ,αn)[λ1λ2⋱λn], A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array}\right] \text {, }

即

(Aα1,Aα2,⋯ ,Aαn)=(λ1α1,λ2α2,⋯ ,λnαn)\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lambda_n \alpha_n\right)

因而

Aαi=λiαi(i=1,2,⋯ ,n)A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)

即 αi(i=1,2,⋯ ,n)\alpha_i(i=1,2, \cdots, n) 是 AA 的对应于特征值 λi\lambda_i 的特征向量．由于 PP 可逆，所以，αi≠0(i=1,2,⋯ ,n)\alpha_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n) 且 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 线性无关。

充分性 设 AA 有 nn 个线性无关的特征向量 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n ，对应的特征值依次为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n ，即

Aαi=λiαi(i=1,2,⋯ ,n)A \alpha_i=\lambda_i \alpha_i \quad(i=1,2, \cdots, n)

以 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 为列向量构造矩阵 PP ，即

P=(α1,α2,⋯ ,αn), P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \text {, }
 则 P 可逆, 且 AP=A(α1,α2,⋯ ,αn)=(Aα1,Aα2,⋯ ,Aαn)=(λ1α1,λ2α2,⋯ ,λnαn)=(α1,α2,⋯ ,αn)[λ1λ2⋱λn]\begin{aligned} & \text { 则 } P \text { 可逆, 且 } \\ & A P=A\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=\left(A \alpha_1, A \alpha_2, \cdots, A \alpha_n\right)=\left(\lambda_1 \alpha_1, \lambda_2 \alpha_2, \cdots, \lambda_n \alpha_n\right) \\ & \\ & =\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array}\right] \end{aligned}
=P[λ1λ2⋱λn],=P\left[\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array}\right],

即

AP=PA, 从而 P−1AP=Λ. A P=P A \text {, 从而 } P^{-1} A P=\Lambda \text {. }

故矩阵 AA 与对角形矩阵 Λ\Lambda 相似。

推论1

若 nn 阶矩阵 AA 有 nn 个互异的特征值 λ1,λ2,⋯\lambda_1, \lambda_2, \cdots ， λn\lambda_n ，则 AA 与对角形相似

证 因为不同的特征值对应的特征向量线性无关．因而，当 AA 有 nn 个互异的特征值时，必有 nn 个线性无关的特征向量，故由上面定理可知，AA 相似于对角形矩阵．

推论2

设 nn 阶方阵 A\boldsymbol{A} 有 ss 个不同的特征值 λ1,λ2,⋯ ,λs\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s ．对 1 ⩽i⩽s,λi\leqslant i \leqslant s, \lambda_i 的代数重数与几何重数分别为 nin_i 与 mim_i ，则方阵 A\boldsymbol{A} 相似于对角阵的充分必要条件为mi=ni,i=1,2,⋯ ,sm_i=n_i, \quad i=1,2, \cdots, s （即每个特征值的几何重数等于代数重数）

证明：略

例判断下列方阵是否相似于对角阵，若相似于对角阵，求可逆矩阵 P\boldsymbol{P} ，使得 P−1AP\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P} 为对角阵． （1） A=(210131012);\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right) ; （2）A=(310−4−104−8−2);A=\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2\end{array}\right) ; （3） A=(12−1000000)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) ； （4） A=(λ01λ0⋱⋱1λ0)m×m(m>1)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_0 & & & \\ 1 & \lambda_0 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_0\end{array}\right)_{m \times m}(m>1) ． 解：（1）由

∣λE−A∣=(λ−2−10−1λ−3−10−1λ−2)=(λ−1)(λ−2)(λ−4),|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left(\begin{array}{rrr} \lambda-2 & -1 & 0 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{array}\right)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-4),

得 A\boldsymbol{A} 的特征值为 λ1=1,λ2=2,λ3=4\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=4 ．三个特征值均不同，所以 AA 可对角化．

当 λ1=1\lambda_1=1 时得齐次线性方程组 (E−A)X=0(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0} 即

(−1−10−1−2−10−1−1)(x1x2x3)=(000)\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

解之得基础解系

α1=(1−11)\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)

当 λ2=2\lambda_2=2 时得齐次线性方程组 (2E−A)X=0(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0} 即

(0−10−1−1−10−10)(x1x2x3)=(000)\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

解之得基础解系

α2=(10−1)\boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)

当 λ3=4\lambda_3=4 时得齐次线性方程组 (4E−A)X=0(4 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0} 即

(2−10−11−10−12)(x1x2x3)=(000)\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

解之得基础解系

α3=(121).\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) .

令

P=(α1,α2,α3)=(111−1021−11),\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right),

则 P\boldsymbol{P} 可逆且

AP=P⋅(λ1λ2λ3),A P=P \cdot\left(\begin{array}{lll} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{array}\right),

即

P−1AP=(λ1λ2λ3)=(124)\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 4 \end{array}\right)

（2）由

∣λE−A∣=(λ−3−104−λ+10−48λ+2)=(λ−1)2(λ+2)|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left(\begin{array}{ccc} \lambda-3 & -1 & 0 \\ 4- & \lambda+1 & 0 \\ -4 & 8 & \lambda+2 \end{array}\right)=(\lambda-1)^2(\lambda+2)

得 A\boldsymbol{A} 的特征值为

λ1=λ2=1,λ3=−2.\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=-2 .

当 λ1=λ2=1\lambda_1=\lambda_2=1 时，

(E−A)=(−2−10420−483)→ 初等行变换 (−2−100103000),(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\left(\begin{array}{rrr} -2 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -4 & 8 & 3 \end{array}\right) \xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),

所以 r(E−A)=2≠3−2=1r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=2 \neq 3-2=1 ，即特征值 λ=1\lambda=1 的几何重数 1 不等于它的代数重数 2 ，因此 A\boldsymbol{A} 不能相似于对角阵．

（3）由

∣λE−A∣=∣λ−1−210λ000λ∣=λ2(λ−1)|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & 1 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right|=\lambda^2(\lambda-1)

得 AA 的特征值为 λ1=λ2=0,λ3=1\lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=1 ． 当 λ1=λ2=0\lambda_1=\lambda_2=0 时，得齐次线性方程组

(−1−21000000)(x1x2x3)=(000)\left(\begin{array}{rrr} -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

的一个基础解系为

α1=(101),α2=(012)\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)

因此 λ1=0\lambda_1=0 的几何重数 == 代数重数 =2=2 ，而 λ3=1\lambda_3=1 的几何重数必等于其代数重数，所以 A\boldsymbol{A} 能相似于对角阵．

当 λ3=1\lambda_3=1 时，解齐次线性方程组

(0−21010001)(x1x2x3)=(000), 得基础解系 α3=(100).\begin{aligned} &\left(\begin{array}{rrr} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\\ &\text { 得基础解系 }\\ &\boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) . \end{aligned}
P=(101010120),\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right),

则 P\boldsymbol{P} 可逆，且得

P−1AP=(001)\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll} 0 & & \\ & 0 & \\ & & 1 \end{array}\right)

（4） A\boldsymbol{A} 的特征值为 λ0\lambda_0 ，它的代数重数为 mm ，下面来计算矩阵 λ0E−A\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} 的秩．

(λ0E−A)=(0−10−10⋱⋱−10)m×m\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ -1 & 0 & & & \\ & -1 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & -1 & 0 \end{array}\right)_{m \times m}

明显地，r(λ0E−A)=m−1r\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)=m-1 ，因此特征值 λ0\lambda_0 的几何重数为 m−(m−1)=1m- (m-1)=1 ，从而当 m>1m>1 时， A\boldsymbol{A} 不能相似于对角阵．

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