11._矩阵相似对角化_λ_求法

矩阵相似对角化求法

本节目的是给出一个矩阵要求出与他相似的对角形矩阵。

例 设矩阵

A=(−211020−413)A=\left(\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \end{array}\right)

问 AA 能否对角化？若能，则求可逆矩阵 PP 和对角矩阵 Λ\Lambda ，使 P−1AP=ΛP^{-1} A P=\Lambda

解 先求 AA 的特征值．

∣A−λE∣=∣−2−λ1102−λ0−413−λ∣=(2−λ)∣−2−λ1−43−λ∣=(2−λ)(λ2−λ−2)=−(λ+1)(λ−2)2,\begin{aligned} |A-\lambda E| & =\left|\begin{array}{ccc} -2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -4 & 1 & 3-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc} -2-\lambda & 1 \\ -4 & 3-\lambda \end{array}\right| \\ & =(2-\lambda)\left(\lambda^2-\lambda-2\right)=-(\lambda+1)(\lambda-2)^2, \end{aligned}

所以 AA 的特征值为 λ1=−1,λ2=λ3=2\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=2 ． 再求 AA 的特征向量．

①当 λ1=−1\lambda_1=-1 时，解方程 (A+E)x=0(A+E) x=0 ．由

A+E=(−111030−414)∼(10−1010000)A+E=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & 1 & 4 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

得对应的特征向量

p1=(101)p _1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)

②当 λ2=λ3=2\lambda_2=\lambda_3=2 时，解方程 (A−2E)x=0( A -2 E ) x = 0 ．由

A−2E=(−411000−411)≃(−411000000),A -2 E =\left(\begin{array}{rrr} -4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 1 \end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{rrr} -4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),

得对应的线性无关特征向量

p2=(01−1),p3=(104)\begin{aligned} &p_2=\left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right), p_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) \end{aligned}

由定理知 p1,p2,p3 p _1, p _2, p _3 , 所以可以对角化。 在本题里，求的三个特征值

λ1=−1,λ2=2,λ3=2\lambda_1=-1, \lambda_2=2, \lambda_3=2

对应的特征向量分别是

p1=(101),p2=(01−1),p3=(104),p_1=\left(\begin{array}{lll}1\\0\\1\end{array}\right), p_2=\left(\begin{array}{lll}0\\1\\-1\end{array}\right), p_3=\left(\begin{array}{lll}1\\0\\4\end{array}\right),

我们可以由多种排法，得到其对角形和矩阵。

排法1 使用 (λ1,λ2,λ3)(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) 和 P=(p1,p2,p3)P=(p_1,p_2,p_3)

则

P=(1010101−14)P=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right)

对应的 Λ\Lambda 为

Λ=(−100020002)\Lambda=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)

排法2 使用 (λ2,λ3,λ1)(\lambda_2,\lambda_3,\lambda_1) 和 P=(p2,p3,p1)P=(p_2,p_3,p_1)

则

P=(011100−141)P=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \end{array}\right)

对应的 Λ\Lambda 为

Λ=(20002000−1)\Lambda=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)

通过本题要牢记：特征值和特征向量的位置要对应放置

例题

例问下列矩阵哪个可以对角化：

A=[−31−1−75−1−66−2]B=[1−333−536−64]A =\left[\begin{array}{ccc} -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1 \\ -6 & 6 & -2 \end{array}\right] \quad B =\left[\begin{array}{lll} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{array}\right]

解 对于 AA ，求其特征值与特征向量

∣A−λI∣=∣−3−λ1−1−75−λ−1−66−2−λ∣=−(λ+2)2(λ−4)| A -\lambda I |=\left|\begin{array}{ccc} -3-\lambda & 1 & -1 \\ -7 & 5-\lambda & -1 \\ -6 & 6 & -2-\lambda \end{array}\right|=-(\lambda+2)^2(\lambda-4)

令 ∣A−λI∣=0| A -\lambda I |=0 ．故 AA 有特征值：λ1=λ2=−2,λ3=4\lambda_1=\lambda_2=-2, \lambda_3=4 ．对于二重根 λ1=−2\lambda_1=-2 ．求其特征向量： 由 (A−λI)X=0( A -\lambda I ) X =0 得

[−11−1−77−1−660][x1x2x3]=0\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & -1 \\ -7 & 7 & -1 \\ -6 & 6 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=0

或

[−11−1001000][x1x2x3]=0\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=0

只有一个线性无关的特征向量： X=(1,1,0)TX =(1,1,0)^{ T } ． 因此对于 λ1=−2\lambda_1=-2 ，其几何重数 m1m_1 小于代数重数 n1n_1 。因此 AA 不可对角化对于矩阵 BB ．同样求其特征值与特征向量：

∣B−λI∣=0:[1−λ−333−5−λ36−64−λ]=−(λ+2)2(λ−4)| B -\lambda I |=0:\left[\begin{array}{ccc} 1-\lambda & -3 & 3 \\ 3 & -5-\lambda & 3 \\ 6 & -6 & 4-\lambda \end{array}\right]=-(\lambda+2)^2(\lambda-4)

对 λ=−2\lambda=-2 ．线性齐次方程组：(B−λ1I)X=0\left( B -\lambda_1 I\right) X = 0 ：

[3−333−336−66][x1x2x3]=0.\left[\begin{array}{rrr} 3 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & 3 \\ 6 & -6 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]= 0 .

解之，有两个线性无关的特征向量：

X1=(1,1,0)T,X2=(1,0,−1)TX _1=(1,1,0)^{T}, \quad X _2=(1,0,-1)^{T}

对于 λ3=4\lambda_3=4 ，有线性齐次方程组 (B−λ3I)X=0\left( B -\lambda_3 I \right) X =0

[−3−333−936−60][x1x2x3]=0\left[\begin{array}{ccc} -3 & -3 & 3 \\ 3 & -9 & 3 \\ 6 & -6 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=0

解之，得

X3=(1,1,2)TX _3=(1,1,2)^{T}

因此 B 有三个线性无关的特征向量，因此 B 可对角化。记

P=(X1,X2,X3)=[1111010−12]P =\left( X _1, X _2, X _3\right)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right]
 则必有 P−1BP=[−2−24]\begin{aligned} &\text { 则必有 }\\ &P ^{-1} B P =\left[\begin{array}{lll} -2 & & \\ & -2 & \\ & & 4 \end{array}\right] \end{aligned}

例 求矩阵

A=(−110−430102)A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)

的特征值与特征向量，并判断他能否对角化

解： AA 的特征多项式为

∣A−λE∣=∣−1−λ10−43−λ0102−λ∣=(2−λ)(1−λ)2| A -\lambda E |=\left|\begin{array}{ccc} -1-\lambda & 1 & 0 \\ -4 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda)(1-\lambda)^2

所以 AA 的特征值为 λ1=2,λ2=λ3=1\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=1 ． ①当 λ1=2\lambda_1=2 时，解方程 (A−2E)x=0( A -2 E ) x = 0 ．由

A−2E=(−310−410100)∼(100010000)A -2 E =\left(\begin{array}{rrr} -3 & 1 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

得基础解系

p1=(001)p_1=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)

所以 kp1(k≠0)k p _1(k \neq 0) 是对应于 λ1=2\lambda_1=2 的全部特征向量．

②当 λ2=λ3=1\lambda_2=\lambda_3=1 时，解方程 (A−E)x=0( A - E ) x = 0 ．由

A−E=(−210−420101)∼(101012000)A- E =\left(\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

得基础解系

p2=(−1−21)p _2=\left(\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)

所以 kp2(k≠0)k p_2(k \neq 0) 是对应于 λ2=λ3=1\lambda_2=\lambda_3=1 的全部特征向量．

从这里可以看到，确实找不到3个线性无关的特征向量，因此不能对角化。

例 设

A=(00111t100)A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & t \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)

问 tt 为何值时，矩阵 AA 能对角化？ 解 ∣A−λE∣=∣−λ0111−λt10−λ∣=(1−λ)∣−λ11−λ∣=−(λ−1)2(λ+1)|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & t \\ 1 & 0 & -\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rr}-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-1)^2(\lambda+1) ，得 λ1=−1,λ2=λ3=1\lambda_1=-1, \lambda_2=\lambda_3=1 ．

当单根 λ1=−1\lambda_1=-1 时，可求得线性无关的特征向量恰有 1 个，故矩阵 AA 可对角化的充分必要条件是对应重根 λ2=λ3=1\lambda_2=\lambda_3=1 ，有 2 个线性无关的特征向量，即方程 (A−E)x=0(A-E) x=0 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 A−EA - E 的秩 R(A−E)=1R( A - E )=1 。由

A−E=(−10110t10−1)∼(10−100t+1000)A - E =\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & t \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & t+1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

要 R(A−E)=1R(A-E)=1 ，得 t+1=0t+1=0 ，即 t=−1t=-1 ． 因此，当 t=−1t=-1 时，矩阵 AA 能对角化．

例设 A=(001x1y100)A =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) 有三个线性无关的特征向量，求 xx 与 yy 应满足的条件. 解：因为矩阵 AA 是 3 阶矩阵，又有三个线性无关的特征向量，所以 AA 可以相似对角化. 由

∣A−λE∣=∣−λ01x1−λy10−λ∣=(1−λ)∣−λ11−λ∣=−(λ−1)2(λ+1),| A -\lambda E |=\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 1 \\ x & 1-\lambda & y \\ 1 & 0 & -\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{array}\right|=-(\lambda-1)^2(\lambda+1),

得到 Aˉ\bar{A} 的特征值为 λˉ1=λˉ2=1,λ3=−1\bar{\lambda}_1=\bar{\lambda}_2=1, \lambda_3=-1 。

对应单根 λ3=−1\lambda_3=-1 ，可求得线性无关的特征向量恰好有 1 个，故对应重根 λ1=λ2=1\lambda_1=\lambda_2=1 应有 2 个线性无关的特征向量，即方程 (A−E)x=0( A - E ) x =0 有 2 个线性无关的解，亦即系数矩阵 A−EA - E的秩 R(A−E)=1R( A - E )=1 。

A−E=(−101x0y10−1)r(10−100x+y000)A - E =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ x & 0 & y \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right) r\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & x+y \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

可知，要使系数矩阵 A−EA - E 的秩 R(A−E)=1R( A - E )=1 ，必须 x+y=0x+y=0 。

前の章10._矩阵与对角形_λ_相似的判定
次の章12._矩阵可对角化_λ_的通俗解释