8._二维均匀分布 - 概率论与数理统计

引入

对于初学者刚学习二维均匀分布时，最容易产生的一个疑问是：为什么要学习均匀分布？他有什么用？对于均匀分布必须结合本课程后面统计学来看。比如看一个简单的例子，雨点均匀的落在盘子里，基本上不需要额外的知识，我们本能的就能感觉，雨点落在每个地方的几率是一样的，假设盘子是正方形，其半径为 $a$ ,那么正方形的面积就是 $a^2$ ,这样，每一点的概率就是 $\frac{1}{a^2}$ , 同样的，如果盘子是圆，半径为 $r$ ，盘子的面积就是 $\pi r^2$ ,那么每一点的概率就是 $\frac{1}{\pi r^2}$ ,由此推出如果盘子的面积为 $S$ ，每一点的概率就是 $\frac{1}{S}$ . 这种推理是正确的，但是我们需要更抽象这种定义。正方形，圆都是比较简单的图像，如果盘子的图形是各种不规则图形呢？这时就需要采用微积分的思想来计算面积。

还必须注意一点：像雨点落在盘子上这种分布是很容易想到是二维均匀分布的，但是在实际中，我们拿到一个事件可能并不容易得到他是一个什么分布，比如车轮在马路上行驶，已知车轮面积是S，每一点的概率是 $\frac{1}{S}$ ,那么，我们就可以倒推过去，说这个车轮是二维均匀分布。

二维均匀分布

根据多维随机变量的性质，假设 $f(x,y)$ 为二维均匀分布密度函数，那么他的密度函数应该满足下面两个条件：性质① $f(x, y) \geq 0$ 性质② $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x=1$

既然叫做“均匀分布”，我们有理由相信，密度函数在各点的密度应该相等(否则就不可能叫均匀分布了，比如雨滴落在圆板上，圆板上各点受到的雨滴几率相等)，因此，我们假设二维均匀密度函数为

f(x, y)= \begin{cases}c, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

现在，我们要计算 $c$ 的值为多少。根据密度函数“性质②”应该有

$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} c dy d x=1$ ，其中，定义域为 $x^2+y^2 \le r^2$ 的圆,

这是一个简单的二重积分, 因为 $c$ 是常数，可以直接提到外面，即

c $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} dy d x=1$ , $dydx$ 是面积元，积分后得 $c \pi r^2=1$ ，所以 $c=\frac{1}{\pi r^2}$ ，即下图圆柱的高为 $\frac{1}{\pi r^2}$

$图片$ {width=200px}

因此圆盘的二维均匀密度函数为

f(x, y)= \begin{cases}\dfrac{1}{\pi r^2}, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

在上面举的例子里，雨滴随机的落在半径为 $r$ 的圆上，从几何概率的角度也可以猜想，各个点密度为 $\dfrac{1}{\pi r^2}$ ，即面积的倒数。(同理可以推出，一维是长度的倒数，二维是面积的倒数，三维是体积的倒数)

下面给出具体的定义。

定义1 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{A}, & (x, y) \in G, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

其中 $G$ 是平面 $x o y$ 上的某个区域, A 为区域的面积, 则称随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的二维均匀分布.

二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域 $G$ 中随机投点, 如果该点坐标 $(X, Y)$ 落在 $G$ 的概率只与 $G$ 的面积有关, 而与 $G$ 的位置无关, 这就是均匀分布。

例设 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布，其中 $D: x \geqslant y, 0 \leqslant x \leqslant 1, y \geqslant 0$ ，求 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ ．分析：拿到均匀分布，最主要是画出图，如下 $图片$ 因为均匀分布的密度函数就是面积的，就本题而言就是需要求出上图阴影面积。