7._相合性

评价点估计好不好有三个指标：无偏性是指估计量的期望和总体期望一样。 有效性是指估计量的方差应尽可能小，相合性是指当取样数量无限大时，估计量和真实值应无限接近

相合性(一致性)

相合性的通俗解释：无偏性和有效性都是在样本容量n固定的前提下提出的，在参数估计中，很容易想到：如果样本容量越大，样本所含的总体分布的信息应该越多，也就是说样本容量越大就越能精确地估计总体的未知参数．随着n的无限增大，一个“好”的估计量与待估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大．估计量的这种性质称为相合性或一致性．

上面这句话转换为数学语言就是当n趋于无穷大时，参数的真实值和估算值的误差，要多小有多少小（就是把高等数学极限那个理论拿过来用）。

定义如 果 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一个无偏估计，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\hat{\theta})=0$ ，那么 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的相合估计量. 证明 由题意知 $E(\hat{\theta})=\theta$ ，根据切比雪夫不等式，当 $n \rightarrow \infty$ ，对任给 $\varepsilon>0$ ， 因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\hat{\theta})=0 ， P(|\hat{\theta}-\theta| \geq \varepsilon)^{n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$, 即 $\hat{\theta} \stackrel{P}{\rightarrow} \theta ， \hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一个相合估计量.

例设 $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个样本，其中 $\sigma^2>0$ 未知，令 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，试证 $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

证明 易见 $E\left(\hat{\sigma}^2\right)=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i^2\right)=\sigma^2$, 又 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$, 所以 $D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=2 n$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $D\left(\hat{\sigma}^2\right)=D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) \cdot \frac{\sigma^4}{n^2}=\frac{2 \sigma^4}{n} \rightarrow 0$. 由定理 2， $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

例设总体 $X \sim B(1, p)$ ，其中 $0<p<1$ 未知， $p$ 的矩 估计量 $\hat{p}=\bar{X}$ ，试证明 $\hat{p}$ 是一个相合估计。

证明 由 $E(\bar{X})=p$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\bar{X})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p(1-p)}{n}=0$ ， 知 $\bar{X}$ 是未知参数 $p$ 的相合估计.

例 设总体 $X \sim U(\theta, 2 \theta)$ ，其中 $\theta>0$ ，且 $\theta$ 是末知参数．$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是 $X$ 的样本，试证明：$\hat{\theta}=\frac{2}{3} \bar{X}$ 是 $\theta$ 的相合估计量．

证 明 因为 $X \sim U(\theta, 2 \theta)$ ，所以

从而

故 $\hat{\theta}=\frac{2}{3} \bar{X}$ 是 $\theta$ 的相合估计量． 在实际问题中，我们自然希望估计量具有无偏性、相合性和有效性，但往往不能同时满足。由于无偏性和有效性无论在直观上还是理论上都比较合理，因此应用的场合也较多．