6._有效性 - 概率论与数理统计

评价点估计好不好有三个指标：无偏性是指估计量的期望和总体期望一样。有效性是指估计量的方差应尽可能小，相合性是指当取样数量无限大时，估计量和真实值应无限接近

有效性

具有无偏性只是对＂好＂估计的基本要求，同一待估参数往往有很多无偏估计量，因此，必须给出另外的标准以便在众多的无偏估计量中＂优中选优＂。

若 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量， $\hat{\theta}$ 的取值在真值的附近波动，我们自然希望 $\hat{\theta}$ 与 $\theta$ 之间的偏差越小越好，也就是说 $\hat{\theta}$ 的方差越小越有效，由此便有了有效性的概念。

定义设 $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2$ 均为参数 $\theta$ 的无偏估计量，若

D\left(\hat{\theta}_1\right)<D\left(\hat{\theta}_2\right)

则称 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 有效．

例设某种产品的寿命 $X$ 服从指数分布，其概率密度为

f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}

其中 $\theta$ 为末知参数． $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体的样本，设有 $\theta$ 的估计量

\begin{gathered} \hat{\theta}_1=\frac{1}{6}\left(X_1+X_2\right)+\frac{1}{3}\left(X_3+X_4\right) \\ \hat{\theta}_2=\frac{1}{5}\left(X_1+2 X_2+3 X_3+4 X_4\right) \\ \hat{\theta}_3=\frac{1}{4}\left(X_1+X_2+X_3+X_4\right) \end{gathered}

哪一个估计量最优？

解因为 $X$ 服从指数分布，所以 $E(X)=\frac{1}{\lambda}=\theta, D(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\theta^2$ ．由于

\begin{gathered} E\left(\hat{\theta}_1\right)=\frac{1}{6}\left[E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)\right]+\frac{1}{3}\left[E\left(X_3\right)+E\left(X_4\right)\right]=\theta, \\ E\left(\hat{\theta}_2\right)=\frac{1}{5}\left[E\left(X_1\right)+2 E\left(X_2\right)+3 E\left(X_3\right)+4 E\left(X_4\right)\right]=2 \theta, \\ E\left(\hat{\theta}_3\right)=E(\bar{X})=E(X)=\theta, \end{gathered}

故 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_3$ 为 $\theta$ 的无偏估计量．又

\begin{gathered} D\left(\hat{\theta}_1\right)=\frac{1}{36}\left[D\left(X_1\right)+D\left(X_2\right)\right]+\frac{1}{9}\left[D\left(X_3\right)+D\left(X_4\right)\right]=\frac{5}{18} \theta^2, \\ D\left(\hat{\theta}_3\right)=D(\bar{X})=\frac{D(X)}{4}=\frac{1}{4} \theta^2, \end{gathered}

故 $\hat{\theta}_3$ 最优．可以证明：当 $\sum_{i=1}^n c_i=1$ 时， $\hat{\mu}=\sum_{i=1}^n\left(c_i X_i\right)$ 是总体期望 $\mu$ 的无偏估计量，其中 $\bar{X}$ 最有效．

例 设 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 是从正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中抽取的样本，

\hat{\mu}_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad \hat{\mu}_2=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i

试证： $\hat{\mu}_1$ 与 $\hat{\mu}_2$ 都是 $\mu$ 的无偏估计量，并指出哪一个较为有效。证因为

\begin{gathered} E\left(\hat{\mu}_1\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)=\frac{1}{n} \cdot n \mu=\mu \\ E\left(\hat{\mu}_2\right)=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} E\left(X_i\right)=\frac{1}{2 n} \cdot 2 n \mu=\mu \end{gathered}

所以 $\hat{\mu}_1$ 与 $\hat{\mu}_2$ 都是 $\mu$ 的无偏估计量．由于

D\left(\hat{\mu}_1\right)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right)=\frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2=\frac{1}{n} \sigma^2,

D\left(\hat{\mu}_2\right)=\left(\frac{1}{2 n}\right)^2 \sum_{i=1}^{2 n} D\left(X_i\right)=\frac{1}{4 n^2} \cdot 2 n \sigma^2=\frac{1}{2 n} \sigma^2,

即

D\left(\hat{\mu}_1\right)>D\left(\hat{\mu}_2\right),

因此， $\hat{\mu}_2$ 更有效．

此例中的情形在实际生活中也是如此。例如，要估计某个地级市的人均收人，在通过样本值进行估计时，常随机抽取一些人员，以他们的平均收人作为整个城市人员的平均收人。从理论上讲，抽取的人数越多，估计的精度越高．