7._单侧检验 - 概率论与数理统计

单侧检验

前面我们讨论的参数检验，拒绝域取在两侧，一般称为双侧检验．但是在实际问题中，有时关心的不是参数是否等于某个值，而是参数是否大于或小于某个值，例如：采取新工艺后，纺织物的强力指标是否有提高？经过政策调控，本月猪肉的均价是否有所下降？等等。此时根据检验假设，拒绝域应该取在某一侧，称为单侧检验．下面以正态总体关于 $\mu$ 的检验为例来说明．

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个样本，给定显著性水平为 $\alpha \quad(0<\alpha<$ $1)$ ，若 $\sigma^2$ 已知，检验 $\mu$ 是否增大？

首先建立假设

H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu>\mu_0

或

H_0: \mu \leqslant \mu_0, H_1: \mu>\mu_0

选取检验统计量

U=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) .

当 $H_0$ 为真时， $U=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 不应太大，则 $U$ 偏大时应拒绝 $H_0$ ，故按照显著性水平 $\alpha$ ，如图 7.2 所示，构造小概率事件为

$图片$

P\left\{U>u_\alpha\right\}=\alpha,

即拒绝域 $U>u_\alpha$ ．由样本观测值求出 $U$ 的观测值 $u$ ，然后做判断．

例 某地区的物价部门对当前市场的大米价格情况进行调查，共调查了 30 个集市上的大米售价，测得它们的平均价格为 2.21 元 $/ 500 g$ ，已知以往大米的平均售价一直稳定在 2 元／ 500 g 。如果该地区大米的售价服从正态分布 $N(\mu, 0.18)$ ，假定方差不变，能否根据上述数据认为该地区当前的大米售价明显高于往年？ $(\alpha=0.05)$ （解）根据题意知，需检验假设 $H_0: \mu \leqslant 2, H_1: \mu>2$ 。检验统计量为

U=\frac{\bar{X}-2}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)

当 $\alpha=0.05$ 时，拒绝域 $U>u_\alpha$ 为 $U>u_{0.05}$ ，也即 $U>1.65$ 。将 $\bar{x}=2.21, \sigma^2=0.18, n=30$ 代入检验统计量中可得

u=2.7>1.65,

故应拒绝 $H_0$ ，即认为该地区当前的大米售价明显高于往年．

例 现有甲、乙两台车床加工同一型号的螺钉，根据以往经验认为两台车床加工的螺钉长度都服从正态分布．现从这两台车床加工的螺钉中分别抽取 11 个和 9 个，测得长度（单位：mm）分别如下．

甲： $6.2,5.7,6.0,6.3,6.5,6.0,5.7,5.8,6.0,5.8,6.0$ ．乙：5．6，5．7，5．9，5．5，5．6，6．0，5．8，5．5，5．7．问：乙车床的加工精度是否高于甲车床（即乙车床加工的螺钉长度的方差是否比甲车床的小）？（ $\alpha=0.05$ ）

解设 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲、乙两台车床加工的螺钉的长度，则

X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), \quad Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right) .

依题意知，需检验假设 $H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2$ 。检验统计量为

F=\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)

拒绝域为 $F>F_\alpha\left(n_1-1, n_2-1\right)$ ．这里 $n_1=11, n_2=9, \alpha=0.05$ ，从而 $F_\alpha\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.05}(10,8)=3.35$ ．由样本值算得 $s_1^2=0.064, s_2^2=0.030$ ，于是

f=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{0.064}{0.030}=2.13<3.35

故接受 $H_0$ ，即不能认为乙车床的加工精度高于甲车床．对以上关于正态总体参数的假设检验的讨论进行总结，单个正态总体参数的假设检验如表 7.1 所示，两个正态总体参数的假设检验附表．

$图片$