4.0 导引

4.0.1 例如果 $f: D \to \mathbf{R}$ 是某个域 $D \subset \mathbb{R}^n$ 上的二次连续可微函数，实矩阵

H (r) = \left[ h _ {i j} (x) \right] = \left[ \frac {\partial^ {2} f (x)}{\partial x _ {1}} \frac {\partial x _ {j}}{\partial x _ {j}} \right] \in M _ {n}

称为 $f$ 的Hessian矩阵．它是 $\pmb{x}$ 的函数，因为可以用它来确定一个临界点是否为相对极大值点或极小值点，所以它在最优化理论中起着重要的作用[(见7.0)]

目前，使我们特别感兴趣的 $H = H(x)$ 性质来源于混合偏导数相等的重要事实；这就是对所有 $\iota, j = 1, 2, \dots, n$ 有

\frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}} = \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {j} \partial x _ {i}}.

用Hessian矩阵 $H = \left[h_{ij}\right]$ 来表示，这意味着，对所有 $i, j = 1, 2, \dots, n$ ，有 $h_{ij} = h_{ji}$ ；即 $H = H^T$ 。设矩阵 $A \in M_n$ ，如果有 $A = A^T$ ，就称它是对称矩阵。因此，一个二次连续可微的实值函数的Hessian矩阵总是实对称矩阵。

4.0.2 例作为第二个例子，设 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 是某个具有实或复元素的矩阵，考虑由 $A$ 产生的 $\mathbf{R}^n$ 或 $\mathbf{C}^n$ 上的二次型：

\begin{array}{l} Q (x) = x ^ {1} A x = \sum_ {r, j = 1} ^ {n} a _ {i j} x _ {i} x _ {j} \\ = \sum_ {r, j = 1} ^ {n} \frac {1}{2} \left(a _ {r} + a _ {j}\right) x, x, \\ = x ^ {1} \left[ \frac {1}{2} (A + A ^ {r}) \right] x. \\ \end{array}

于是， $A$ 和 $\frac{1}{2} (A + A^{\intercal})$ 引出同一个二次型，且后一个矩阵是对称的．因此，为了研究实的或复的二次型，只要研究由对称矩阵产生的那些二次型就可以了．例如，在物理中，作为物体的惯性表达式，自然会遇到实二次型.

4.0.3 例作为第三个例子，考虑用

L f (x) \equiv \sum_ {i, j = 1} ^ {n} a _ {i j} (x) \frac {\partial^ {2} f (x)}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}} \tag {4.0.4}

定义的二阶线性偏微分算子 $L$ 。假定系数 $a_{ij}(x)$ 和函数 $f(x)$ 都是定义在同一个区域 $D \subset \mathbb{R}^n$ 上的，且 $f$ 在 $D$ 上应当是二次可微的。可以用一种自然的方式把算子 $L$ 与一个矩阵联系起来，矩阵 $A = [a_{ij}(x)]$ 不一定是对称的，但是，因为 $f$ 的混合偏导数相等，因而有

L f = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} a _ {i j} (x) \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}} = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} \frac {1}{2} \left[ a _ {i j} (x) \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}} + a _ {i j} (x) \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}} \right]

= \sum_ {i, j = 1} ^ {n} \frac {1}{2} \left[ a _ {i j} (x) + a _ {\mu} (x) \right] \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {i} \partial x _ {j}}.

因此，对称矩阵 $\frac{1}{2} (A + A^{\dagger})$ 与矩阵 $\Lambda$ 产生同一个算子 $L$ ，并且为了研究形如(4.0.4)的实的或复的线性偏微分算子，只要考虑对称系数矩阵就够了。

4.0.5 例考虑无向图 $\Gamma$ ；即 $\Gamma$ 由集合 $N$ 和集合 $E$ 组成，其中 $N$ 是“结点”的集合 $\{P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}\}$ ， $E$ 是无序结点偶（称为“边”）的集合 $E = \{\{P_{i_{1}}, P_{i_{1}}\}, \{P_{i_{2}}, P_{i_{2}}\}, \dots\}$ 。图 $\Gamma$ 可以简洁地用它的所谓邻接矩阵 $A = [a_{ij}]$ 来描述，这里

a _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {如 果} \{P _ {i}, P _ {j} \} \in E, \\ 0, & \text {否 则}. \end{array} \right.

因为 $\pmb{\Gamma}$ 是无向图，所以 $A$ 是实对称矩阵：即 $A^T = A$

4.0.6 例设 $A = [a_{n}] \in M_{n}$ 是实矩阵，考虑实双线性型

Q (x, y) = y ^ {T} A x = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} a _ {i j} y _ {i} x _ {j}, \quad x, y \in \mathbf {R} ^ {n}, \tag {4.0.7}

当 $A = I$ 时，它简化为普通内积。如果希望对所有 $x, y$ ，有 $Q(x, y) - Q(y, x)$ ，那么它必需而且只需对所有 $i, j = 1, \cdots, n$ ，有 $a_{ij} = a_{ji}$ 。为了证明这一点，只需注意到，如果 $x = e_j$ 和 $y = e_i$ ，那么 $Q(e_j, e_i) = a_{ij}$ 且 $Q(e_i, e_j) = a_{ji}$ 。因此，实对称双线性型自然与实对称矩阵相对应。

现在设 $A = [a_{n}]\in M_{n}$ 是实的或复的矩阵，考虑复形式

H (x, y) = y ^ {\prime} \Lambda x = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} a _ {i j} \bar {y} _ {i} x _ {j}, \quad x, y \in \mathbf {C} ^ {n}, \tag {4.0.8}

同(4.0.7)一样，当 $A = 1$ 时，它简化为普遍内积。这种形式不再是双线性的，但是它对第一变元是线性的，而对第二变元是“共轭线性”的 $(H(ax, by) = a\bar{b} H(x, y))$ ，这正好与复Euclid内积相同。有人称这种形式为半双线性的。如果希望像内积一样有 $H(x, y) = \overline{H(y, x)}$ ，那么，与前述情形相同的论证说明，它必需而且只需有 $a_{ij} = \bar{a}_{ji}$ ；即 $A = \overline{A}^T \equiv A^*$ 。要注意的是，如果 $A$ 是实矩阵，那么 $A^* = A^T$ 。

使 $A = A^{*}$ 的 $A \in M_{n}$ 的矩阵类在许多方面是实对称矩阵类到 $M_{n}(\mathbf{C})$ 的自然推广。这样的矩阵称为Hermite矩阵；要注意的是，实Hermite矩阵就是实对称矩阵。非实的复对称矩阵类没有实对称矩阵类那么多重要性质。在本章，我们将研究复Hermite矩阵和复对称矩阵，并且要特别指出在实对称情形成立的那些性质。

4.0_导引

4.0 导引