4.1 Hermite 矩阵的定义、性质和特征

4.1.1 定义 矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_{\pi}$ 称为Hermite矩阵，是指 $A = A^{*}$ ，其中 $A^{*} \equiv \overline{A}^{\tau} = [\overline{a}_{ji}]$ 。如果 $A = -A^{*}$ ，则称之为斜Hermite矩阵。

关于 $A$ ， $B\in M_{n}$ 的一些论断：

1. 对所有 $A \in M_{n}$ , $A + A^{*}$ , $AA^{*}$ 和 $A^{*}A$ 都是Hermite矩阵.

2. 如果 $A$ 是Hermite 矩阵，那么，对所有 $k = 1, 2, 3, \dots, A^{k}$ 是Hermite 矩阵．如果 $A$

还是非奇异的，那么， $A^{-1}$ 也是Hermite矩阵.

1. 如果 $A, B$ 是Hermite矩阵，那么，对所有实纯量 $a, b, aA + bB$ 是Hermite矩阵。

2. 对所有 $A \in M_{n}$ , $A - A^{*}$ 是斜Hermite矩阵.

3. 如果 $A, B$ 是斜 Hermite 矩阵，那么，对所有实纯量 $a, b, aA + bB$ 是斜 Hermite 矩阵。

4. 如果 $A$ 是Hermite 矩阵，那么 $iA$ 是斜Hermite.

5. 如果 $A$ 是斜Hermite矩阵，那么 $iA$ 是Hermite矩阵

6. 任意 $A \in M_{n}$ 可写成

其中 $H(A) = \frac{1}{2} (\Lambda +\Lambda^{\prime})$ 是 $A$ 的Hermite部分，而 $S(A) = \frac{1}{2} (A\quad A^{\prime})$ 是 $A$ 的斜Hermite部分.

1. 如果 $A$ 是Hermite 矩阵，那么 $A$ 的主对角元都是实数，为了给出 $A$ 的 $n^2$ 个元素，我们可以自由地给定任意 $n$ 个实数（对于主对角元）和任意 $\frac{1}{2} n(n - 1)$ 个复数（对于非对角元）。

4.1.2 定理 每个 $A \in M_{n}$ 可以唯一地写成 $A = S + tT$ ，其中 $S$ 和 $T$ 都是 Hermite 矩阵。它也可以唯一地写成 $A = B + C$ ，其中 $B$ 是 Hermite 矩阵，而 $C$ 是斜 Hermite 矩阵。

证明：把 $A$ 写成 $A = \frac{1}{2} (A + A^{*}) + i\left[(-i / 2)(A - A^{*})\right]$ ，并且注意到 $S = \frac{1}{2} (A + A^{*})$ 和 $T = (-i / 2)(A - A^{*})$ 都是Hermite矩阵，关于唯一性论断，我们知道，如果 $A = E + iF$ ，其中 $E$ 和 $F$ 都是Hermite矩阵，那么

因而 $E = S$ 。类似地可以证明， $F = T$ 。关于表示式 $A = B + C$ 的论断也可用同样的方式来证明。

上述论断使我们联想到，如果把 $M_{n}$ 比作复数，那么Hermite矩阵就可以比作实数．C中的复共轭运算类似于 $M_{n}$ 上的(伴随)运算。一个实数是使 $z = \overline{z}$ 的复数 $z$ ；一个Hermite矩阵是使 $A = A^{*}$ 的矩阵 $A \in M_{n}$ ，正如每个复数 $z$ 可以写成 $z = s + it$ 一样（其中 $a, t \in \mathbb{R}$ ）。每个复矩阵 $A$ 也可以唯一地写成 $A = S + iT$ ，其中 $S$ 和 $T$ 是Hermite矩阵，还有另外一些性质进一步说明这种类似性。

4.1.3 定理 设 $A \in M_{n}$ 是Hermite矩阵，那么

(a) 对所有 $x \in \mathbf{C}^{n}$ , $x^{*} A x$ 是实数;
(b) $A$ 的所有特征值都是实数；
（c）对所有 $S \in M_{n}$ ， $S^{\prime}AS$ 是Hermite矩阵.

证明：计算 $(\overline{x^{*}Ax}) = (x^{*}Ax)^{*} = r^{*}A^{*}x = x^{*}Ax$ ，于是 $x^{*}Ax$ 等于它的复共轭，因而它是实数．如果 $Ax = \lambda x$ 且 $x^{\star}x = 1$ ，那么，根据(a)， $\lambda = \lambda x^{\star}x = x^{\star}\lambda x = x^{\star}Ax$ 是实数．最后， $(S^{*}AS)^{*} = S^{*}A^{*}S = S^{*}AS$ ，所以 $S^{*}AS$ 总是Hermite矩阵. □

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练习 当 $n - 1$ 时，Hermite 矩阵 $A \in M_{n}$ 的上述每个性质指的是什么？

(4.1.3)的每一个性质实际上(几乎都)是Hermite矩阵的一个特征.

4.1.4 定理 设 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 是给定的，那么， $A$ 是Hermite 矩阵，当且仅当下述条件至少有一个成立：

(a) 对所有 $x \in \mathbf{C}^{n}$ , $r^{*} A x$ 是实数;
(b) $A$ 是正规矩阵，且 $A$ 的所有特征值都是实数；
（c）对所有 $S \in M_{n}$ ， $S^{*}AS$ 是Hermite矩阵.

证明：这只要证明每个条件的充分性就可以了。如果对所有 $x \in \mathbb{C}^n$ ， $x^* A x$ 是实数，那么，对所有 $x, y \in \mathbb{C}^n$ ， $(x + y)^* A (x + y) = (x^* A x + y^* A x) + (x^* A y + y^* A x)$ 是实数。因为根据假设条件， $x^* A x + y^* A y$ 是实数，得出，对所有 $x, y \in \mathbb{C}^n$ ， $x^* A y + y^* A x$ 是实数。如果选取 $x = e_k$ 和 $y = e_j$ ，这就是说， $a_{kj} + a_{jk}$ 是实数，因而 $\operatorname{Im} a_{kj} = -\operatorname{Im} a_{jk}$ 。如果选取 $x = e_k$ 和 $y = e_j$ ，这就是说， $-i a_{kj} + i a_{jk}$ 是实数，因而 $\operatorname{Re} a_{kj} = \operatorname{Re} a_{jk}$ ，这两个恒等式结合起来就等价于有 $a_{kj} = \bar{a}_{jk}$ ，又因为 $j, k$ 是任意的，因此得出 $A = A^*$ 。

如果 $A$ 是正规矩阵，它就是可酉对角化的，所以 $A = U\Lambda U^{\prime}$ ，其中， $\pmb{\Lambda} = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots ,$ $\lambda_{n})$ 是由 $A$ 的各特征值构成的对角矩阵．一般地，有 $A^{*} = U\overline{A} U^{*}$ ，但是，如果 $\pmb{\Lambda}$ 是实矩阵，就有 $A^{*} = U\Lambda U^{*} = A$ ，最后一个条件推出 $A$ 是Hermite矩阵，这只需取 $S = I$ □

因为Hermite矩阵显然是正规矩阵 $(AA^{*} = A^{2} = A^{*}A)$ ，第2章中有关正规矩阵的所有结果都适用于Hermite矩阵．例如，相应于不同特征值的特征向量是正交的，存在正交特征向量的一个完备集；Hermite矩阵是可以酉对角化的；等等.

作为参考，我们特别叙述下述重要结果。

4.1.5 定理（Hermite 矩阵的谱定理）设 $A \in M_{n}$ 是给定的，那么， $A$ 是 Hermite 矩阵，当且仅当存在一个酉矩阵 $U \in M_{n}$ 和一个实对角矩阵 $\Lambda \in M_{n}$ ，使得 $A = U\Lambda U^{*}$ 。此外， $A$ 是实 Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵 $P \in M_{n}$ 和一个实对角矩阵 $\Lambda \in M_{n}$ ，使得 $A = P\Lambda P^{r}$ 。

虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite矩阵。例如，如果 $A$ 是Hermite矩阵，那么，只有当 $A = 0$ 时 $iA$ 才是Hermite矩阵。另外，如果 $A$ 和 $B$ 是Hermite矩阵，那么 $(AB)^{*} = B^{*}A^{*} = BA$ ，因此， $AB$ 是Hermite矩阵，当且仅当 $A$ 与 $B$ 可交换。

关于交换的Hermite矩阵的最著名的结果之一（因为在量子力学中它是到算子的重要推广）是定理(2.5.5)的下述特殊情形。

4.1.6 定理 设 $\mathcal{F}$ 是给定的Hermite矩阵族，对所有 $A \in \mathcal{F}$ ，存在酉矩阵 $U$ ，使得 $UAU^{*}$ 是对角阵，当且仅当对所有 $A, B \in \mathcal{F}$ 有 $AB = BA$ .

Hermite 矩阵 $A$ 有 $A^*$ 的性质，推广 Hermite 矩阵概念的一种方式是考察 $A$ 相似于 $A^*$ 的矩阵类。下述定理用几种方式刻划了这一类矩阵，其中第一个是说，这样的矩阵必定相似于（但不一定酉相似于）一个实的（但不一定是对角的）矩阵。

4.1.7 定理 设 $\Lambda \in M_{n}$ 是给定的，下述诸命题等价：

(a) $A$ 相似于矩阵 $B \in M_{\pi}(\mathbf{R})$ ；
（b） $A$ 相似于 $A^{*}$
(c) $A$ 经Hermite相似变换相似于 $A^{*}$
(d) $A = HK$ ，其中 $H$ ， $K\in M_{n}$ 都是Hermite矩阵，且至少有一个是非奇异的；
(e) $A = HK$ ，其中 $H, K \in M_{n}$ 是Hermite矩阵.

证明：首先要指出的是(a)和(b)等价：如果(a)成立，则 $S^{-1}AS = B = T^{-1}BT = T^{-1}B^{*}T$ $= T^{-1}S^{*}A^{*}(S^{-1})^{*}T$ ，这就是说， $A^{*} = (ST^{-1}S^{*})^{-1}A(ST^{-1}S^{*})$ ，或者说(b)成立．如果(b)成立，那么 $\pmb{\Lambda}$ 和 $A^*$ 有相同的Jordan标准形．因为对任意矩阵 $\pmb{A}$ ， $\pmb{\Lambda}$ 与 $\pmb{\Lambda}^T$ 相似，这说明，如果 $\pmb{J}$ 是 $\pmb{A}$ 的Jordan矩阵，那么 $\pmb{J}$ 必须相似于 $\pmb{J}$ ，因此，对 $\pmb{J}$ 中的每个Jordan块 $J_{k}(\lambda)$ ，在 $\bar{J}$ 中有一个相应的(相同阶数的)Jordan块 $J_{k}(\lambda)$ ，如果 $\lambda$ 是实数，就没什么可说的了，如果 $\lambda$ 不是实数，这就是说，相应于每个非实特征值的诸Jordan块和它的共轭必须成对出现．利用推导(3.4.5)的论证，得出 $\pmb{J}$ 必须相似于形如(3.4.4)的实矩阵的一个直和，因而(a)成立.

为了证明(b)蕴涵(c)，假定 $S^{-1}AS = A^{*}$ ，且注意到，如果对任意非零 $a = re^{\theta} \in \mathbf{C}$ ， $T = aS$ ，那么 $T^{-1}AT = A$ 。因而 $AT = TA^{*}$ ，或等价地 $AT^{*} = T^{*}A^{*}$ 。相加这两个恒等式得恒等式 $A(T + T^{*}) = (T + T^{*})A^{*}$ ，而如果 $T + T^{*}$ 是非奇异矩阵，这便说明 $A$ 可经Hermite矩阵 $T + T^{*}$ 相似于 $A^{*}$ 。但是可选取 $a$ 使 $T + T^{*}$ 非奇异，这是因为， $T + T^{*}$ 非奇异，当且仅当 $T^{-1}(T + T^{*}) = 1 + T^{-1}T^{*}$ 非奇异，或当且仅当 $-1 \in \sigma(T^{-1}T^{*})$ 。但是， $T^{-1}T^{*} = e^{-2\imath\theta}S^{-1}S^{*}$ ，又因为可以选取 $a$ 来得到任意 $\theta \in [0, 2\pi]$ ，所以只需选取 $\theta$ 使 $-e_{2}^{\theta} \in \sigma(S^{-1}S^{*})$ 即可。因而(b)蕴涵(c)。

其次，假定(c)成立，并且写出 $R^{-1}AR = A^{*}$ ，其中 $R \in M_{n}$ 是非奇异Hermite矩阵。于是 $R^{-1}A = A^{*}R^{-1}$ 且 $A = R(A^{*}R^{-1})$ 。但 $(A^{*}R^{-1})^{*} - R^{-1}A = A^{*}R^{-1}$ ，因此 $A$ 是两个Hermite矩阵 $R$ 和 $A^{*}R^{-1}$ 的乘积，且其中的 $R$ 是非奇异的，因而(d)成立。

如果(d)成立，且 $A - HK$ ，其中 $H$ 是非奇异矩阵，那么 $H^{\dagger}AH = KH = (HK)^{*} = A^{*}$ 从而(b)成立．如果 $\kappa$ 是非奇异矩阵，证明是类似的.

显然(d)蕴涵(e)；我们要证明(e)蕴涵(a). 如果 $A = HK$ ，其中 $H$ 和 $K$ 是Hermite矩阵，且都是奇异的，考虑 $U^{*}AU = (U^{*}HU)(U^{*}KU)$ ，其中， $U \in M_{n}$ 是酉矩阵，它把 $H$ 对角化成形式

使得 $D \in M_{k}$ 是非奇异对角矩阵， $k < n$ 。把矩阵 $U^{*}KU$ 划分成与 $H^{\prime}$ 同形的分块，使得

子块 $DK^{\prime}\in M_{k}$ 是两个Hermite矩阵的乘积，其中有一个是非奇异的，于是根据(d)与(a)的等

价性， $DK^{\prime}$ 相似于实矩阵 $B\in M_{k}$ 用 $J\in M_{k}$ 表示 $\pmb{B}$ 的Jordan标准形，使得 $\pmb{A}$ 相似于形如

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的矩阵 $C$ 。矩阵 $C$ 是上三角矩阵，且它的各特征值是 $J$ 的各特征值再附加 $n - k$ 个零特征值，对于相应于任一非零特征值的诸子块， $C$ 的 Jordan 标准形的 Jordan 块结构必须与 $J$ 的相同，这是因为，如果 $\lambda \neq 0$ ，每个幂 $(C - \lambda I)^r$ 的（列）秩显然等于 $n - k$ ； $\operatorname{rank}(J - \lambda I)^r$ ， $r = 1, 2, \dots, n$ 。特别是， $C$ 的相应于任一非特征值的 Jordan 块必须成共轭对出现，因而 $C$ 的 Jordan 标准形相似于形如(3.4.6)的矩阵，它是一个实矩阵。 $\square$

习题

1. 证明 Hermite 矩阵的每个主子矩阵是 Hermite 矩阵。这一性质对斜 Hermite 矩阵成立吗？对正规矩阵呢？

2. 如果 $A \in M_{n}$ 是Hermite矩阵，且 $S \in M_{n}$ ，证明 $\mathrm{SAS}^{*}$ 是Hermite矩阵。如果 $S$ 是非奇异的， $\mathrm{SAS}^{-1}$ 又怎样呢？

3. 设 $A, B \in M_{n}$ 是 Hermite 矩阵。证明， $A$ 与 $B$ 相似，当且仅当它们酉相似。提示：如果 $A = SBS^{*}$ ，证明 $A = U\Lambda U^{*}$ 和 $B - V\Lambda V^{*}$ ，其中 $U$ 和 $V$ 是酉矩阵，因而 $U^{*}AU = \Lambda = V^{*}BV$ 。

4. 验证(4.1.1)下面的性质 $1 \sim 9$ .

5. 有时，通过证明一个矩阵与一个Hermite矩阵相似，可以证明它只有实特征值。关于这方面的一个经典例子如下所述：设 $A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbf{R})$ 是三对角矩阵；即 $a_{ij} = 0$ ，若 $|i - j| > 1$ 。假定它的元素有很弱的对称性质，即对所有 $i = 1, 2, \dots, n - 1$ ，有 $a_{i + 1}a_{i + 1, i} > 0$ 。证明，存在一个具有正对角元的实对角矩阵 $D$ 使得 $DAD^{-1}$ 是对称的。因而得出 $A$ 只有实特征值。考察 $\left[ \begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array} \right]$ ，试说明为什么关于非对角元的符号假定是必不可少的。试用极限理论证明，如果 $a_{i + 1, i}a_{i + 1}$ ， $i \geqslant 0$ ，那么特征值是实的结论仍然成立。

6. 证明在下述意义下每个矩阵 $A \in M_{n}$ 由它产生的Hermite型 $x^{*}Ax$ 唯一确定：如果 $A = [a_{ij}]$ ， $B = [b_{ij}] \in M_{n}$ 是给定的，证明，对所有 $x \in \mathbb{C}^{n}$ 有 $x^{*}Ax = x^{*}Bx$ ，当且仅当 $A = B$ 。提示：如果对所有 $x \in \mathbb{C}^{n}$ ， $x^{*}Ax = 0$ ，考虑 $(x + y)^{*}A(x + y)$ ，然后证明，对所有 $x, y \in \mathbb{C}^{n}$ ，有 $x^{*}Ay + y^{*}Ax = 0$ 。选取 $x = e_{k}, y^{-1}e^{i\theta}e_{j}, \theta \in \mathbb{R}$ ，证明，对所有 $\theta \in \mathbb{R}$ 和所有 $j, k - 1, 2, \dots, n$ ，有 $a_{kj}e^{2i\theta} = a_{jk}$ 。

7. 证明，如果 $n \geqslant 2$ ，矩阵 $A \in M_n$ 不能由它产生的二次型 $x^T A x$ 唯一确定；即：如果 $n \geqslant 2$ ，则存在 $A, B \in M_n$ ，且 $A \neq B$ ，使得对所有 $x \in \mathbf{C}^n$ 有 $x^T A x = x^T B x$ 。提示：如果 $C = -C^T$ ， $x^T C x$ 是什么？

8. 证明，矩阵 $A \in M_{n}$ 不能由它产生的Hermite型的绝对值 $\left| x^{*} A x \right|$ 所确定。提示：设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ，然后证明，对所有 $x \in \mathbf{C}^2$ ， $|x^{*} A x| = |x^{*} A'^{'} x|$ 。

9. 证明，在下述意义下，矩阵 $A$ 几乎由它生成的Hermite双线性型的绝对值所确定：若

$A$ ， $B\in M_{n}$ 是给定的，证明，对所有 $\pmb{x}$ ， $y\in \mathbb{C}^n$ 有 $\mid x^{*}Ay\mid = \mid x^{*}By\mid$ ，当且仅当对某个 $\theta \in \mathbf{R}$ 有 $A = e^{i\theta}B.$ 提示：设 $A = [a_{ij}]$ 且 $B = [b_{ij}]$ .利用 $x = e,$ 和 $y = e_j$ 证明，对所有 $i$ ， $j = 1$ 中 $\dots ,n$ 有 $\left|a_{ij}\right| = \left|b_{ij}\right|$ .设 $x - e_i$ ， $y = se_j + te_k$ ，证明 $\mid sa_{ij} + ta_{ik}\mid^2 = \mid sb_{ij} + tb_{ik}\mid^2$ ，因而对所有s，t∈C有Re( $\bar{s t}\bigl [a_{i j}\dot{a}_{k} - b_{i j}\bar{b}_{k}\bigr ]\big) = 0$ 若 $b_{ij}b_{ik}\neq 0$ ，推出 $a_{ij} / b_{ij} = a_{ik} / b_{ik}$

1. 证明， $A \in M_n$ 是Hermite矩阵，当且仅当 $iA$ 是斜Hermite矩阵。证明，一个斜Hermite矩阵的各特征值都是纯虚的，而一个斜Hermite矩阵的平方的各特征值是非正实数。

2. 如果 $A, B \in M_{n}$ 是Hermite 矩阵，证明 $\operatorname{tr}(AB)^2 \leqslant \operatorname{tr} A^2 B^2$ 。提示：证明 $AB - BA$ 是斜Hermite 矩阵，然后考虑 $\operatorname{tr}(AB - BA)^2$ 。

3. 如果 $A \in M_{n}$ 是Hermite矩阵，证明， $A$ 的秩等于 $A$ 的非零特征值的个数，但是对于非Hermite矩阵一般不成立。提示： $\left[ \begin{array}{ll}0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right]$ 。

4. 若 $\Lambda \in M_{n}$ 是Hermite矩阵且 $A \neq 0$ ，证明

上述等式成立当且仅当存在一个具有标准正交列的矩阵 $U = [u_{1}\dots u_{r}]\in M_{n,r}$ 和某个 $a\in \mathbb{R}$ 使得 $A = aUU^{*}$ ；即 $\pmb{A}$ 是一个酉射影的实纯量倍数．提示：若 $\lambda_1,\dots ,\lambda_r$ 是 $\pmb{A}$ 的非零特征值，Cauchy-Schwarz不等式是说：

其中等式成立当且仅当所有 $\lambda_{i}$ 相等.

1. 斜Hermite矩阵 $A \in M_{n}$ 满足恒等式 $A = -A^{*}$ . 如果 $\theta \in \mathbb{R}$ , 证明, $A = e^{\theta} A^{*}$ , 当且仅当 $e^{-\theta} A$ 是Hermite矩阵. 对于 $\theta = \pi$ , 这是什么? 对 $\theta = 0$ 呢? 说明为什么斜Hermite矩阵类可以看作“广义Hermite”矩阵的无限多个类中的一个, 并且描述每一个这样的矩阵类的结构.

2. 设 Hermite 矩阵 $A = \left[ a_{ij} \right] \in M_{n}$ 已写成如下的分块形式：

其中， $x\in \mathbf{C}^{n - 1}$ ， $\widetilde{A}\in M_{n - 1}$ ，证明

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其中 $\operatorname{adj} \widetilde{A}$ 是 $\widetilde{A}$ 的经典伴随[见(0.8.2)]。使 $A$ 满足更弱的什么条件就能保证这个公式成立？提示：按 $A$ 的第1列进行行列式的Lanlace余子式展开(0.3.1)，然后对所得到诸余子式的第一行进行展开。