4.3 复合函数的导数

我们在前面接触的是 $y = x^2$ 这种简单的函数。接下来尝试对复合函数求导。下面求 $y = (\mathrm{e}^{x^2})^2$ 的导数 $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ 。代码如下所示。

steps/step04.py

def f(x):
    A = Square()
    B = Exp()
    C = Square()
    return C(B(A(x)))
x = Variable(np.array(0.5))
dy = numerical_diff(f, x)
print(dy)

运行结果

3.2974426293330694

上面的代码将一系列的计算组合成了一个名为f的函数。函数在Python中也是对象，所以可以作为参数传给其他函数。在上面的例子中，函数f作为参数传给了numerical_diff函数。

运行上面的代码，得到的导数是3.297...。这意味着，如果x从0.5变成一个微小的值，y值的变化幅度将是这个微小值的3.297...倍。

现在我们已经成功实现了“自动”求导。只要用代码来定义要完成的计算(前面的例子定义了函数f)，程序就会自动求出导数。使用这种方法，无论多么复杂的函数组合，程序都能自动求出导数。今后函数的种类越来越多的话，不管是什么计算，只要是可微函数，程序就能求出它的导数。不过遗憾的是，数值微分的方法存在一些问题。