14._正交矩阵 - 线性代数

正交矩阵

定义若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A ^{ T } A = A A ^{ T }= E$ ，则 $A$ 称为正交矩阵。

考虑下面两个表达式：

A ^{ T } A =E ...① \\ A ^{ -1 } A =E ...② \end{array}

可以看到，①② 很像，所以有

\boxed{ A^T=A^{-1} ...(1) }

(1)式表明

正交矩阵的逆矩阵等于他的转置

我们知道，矩阵的逆通常求解比较繁琐，但是正交矩阵的逆求解比较简单，只要转置一下就可以了。

注意：矩阵必须是正交矩阵才有（1）这个结论，反之，对于普通是矩阵是没有（1）这个结论的。这就像我们定义小于零的数是负数，所以负数小于零一样。如果问为什么负数小于零，这个疑问是没意义的。同样，一个矩阵如果被称作是正交矩阵，就意味着他满足 $A^TA=E$ ,进而他的转置等于他的逆，否则他就不应称作正交矩阵。

正交矩阵行列式

对角正交矩阵两边取行列式可得

A ^{ T } A =E \Rightarrow |A ^{ T } A| =|E|

\Rightarrow |A|^2=1

\therefore |A|=1 \text{ 或 } |A|=-1

因此，正交矩阵的行列式为1或者-1.

$n$ 阶矩阵 $A =\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正交矩阵的充分必要条件是下列两组等式

\begin{aligned} & \sum_{k=1}^n a_{i k} a_{j k}= \begin{cases}1, & i=j, \\ 0, & i \neq j\end{cases} \\ & \sum_{k=1}^n a_{k i} a_{k j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=j, \\ 0, & i \neq j \end{array} \quad(i, j=1,2, \cdots, n),\right. \end{aligned}

中至少有一组成立（其实，由一组等式成立可推出另一组等式成立）。这就是说，正交矩阵每一行（列） $n$ 个元的平方和等于 1 ；两个不同行（列）的对应元乘积之和等于零。

若 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，则乘积 $A B ( B A )$ 也是正交矩阵。此结果还可推广为有限多个同阶正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。请注意 $A + B$ 一般不是正交矩阵。

关于正交矩阵更详细介绍，请参考正交矩阵与正交变换