5._矩阵乘法_列视角

列视角理解矩阵乘法

本课程叫做《线性代数》，核心包含了“线性”和“代数”两层含义，在 引言了介绍了 线性代数 四字的意义。 只有以列为视角，才能把线性组合关联起来。

以列为主的视角将矩阵乘法视为对矩阵的列向量进行线性组合。所谓线性组合，即线性+组合，线性是指向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来（向量加法使用平行四边形法则，可以直接坐标相加）。列视角是最重要的视角。

参考下图

红绿蓝三种颜色乘以矩阵 $A=\left[\begin{array}{l}a\\b\\c \end{array} \right]$，得到的结果是红色乘以$a$，绿色乘以$b$，蓝色乘以$c$，然后得到紫色

这里体现了两层含义：线性，即红绿蓝分别被$a,b,c$作用，彼此不被干扰。 组合，就是把最终结果相加。

比如下面这个矩阵乘法

上面的矩阵乘法可以理解为：有一组学生，每一列都包含了学生的基本信息：年龄、身高和体重。现在对每个学生进行采样，采样次数分别是$x_1,x_2,x_3$次，最终形成了第一批采样报告 $B=\left[\begin{array}{l}b_1\\b_2\\b_3 \end{array} \right]$

多次采样

假设有一天又进行了第二次采样，如下

参考下图可以看到，每一列采样数据和采样结果彼此互相对应，如果把上面看成方程，我们发现变量还是竖着写舒服，因为能跟右边的值一一对应起来。进一步的，可以发现这个方程其实是2个方程组，含有6个等式。

如果采样次数是第三次、第四次、第n次呢？不用担心，直接把汇总结果矩阵继续案列放置即可。所以按列理解矩阵乘法，是最常用的思考方式。

推广

现在把上面的结果推广,把矩阵$A$推广为多列,为了方便理解，我们从结果看过程 可以看到，最后的结果就是前面线性的叠加。

理解了上面的思想，再来看矩阵乘法。

例 计算

解：我们使用列向量视角，就可以把矩阵转换为

注意：正如上面所说，使用列视角方便人脑的理解，但是计算量反而可能比行视角大，所以行视角多用于计算机处理中。

列视角下的方程组

设有方程

则方程可以写成

**仅从长相上看，矩阵方程 $Ax=\beta$ 和初中学习的代数方程 $ax=b$ 长相几乎张一模一样, 都是左边是数，中间是$x$右边是结果 **,

上面这种把方程转换为矩阵的写法要能倒过来理解，即给了一个矩阵方程，能理解他的传统方程的写法。

向量空间的视角

现在我们把矩阵以列视角，从向量空间来观察他，考察下面一个矩阵乘法

如果把矩阵的列当做三维空间的$x,y,z$ 坐标轴，那么这3个向量将张成三维空间，根据平行四边形法则，空间的任何一个向量，在这个三维空间里都有自己的坐标值$(x_1,x_2,x_3)$， 参考下图

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因此， 在这种思维模型下，$AX=B$中的$AX$可以看成一个向量在$A$空间里的坐标值是$X$，那么$B$呢？

我们说一个向量，要测量他的大小和方向，得有一个“尺度”，最常用的是笛卡尔坐标系，即$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$，其实$B$隐含这E单位矩阵。即 $AX=EB$，即

你可以这么理解：

$A$空间里看到的一个向量,他的坐标值是 $\left[\begin{array}{l}1\\2\\3 \end{array} \right]$ 如果我换一个标准的视角$E$去看他，他的坐标值是 $\left[\begin{array}{l}8\\10\\12 \end{array} \right]$ 两个值相等表示向量还是那个向量，只是观察角度不一样了。

如果把矩阵视为拍照，你给小猪猪可以正面拍，侧面拍，上面拍，下面拍，猪还是那头猪，但是拍摄的角度不一样，得到的照片并不一样。在这些拍照里，有一个视角是最好的：就是正面拍照，因为不失真，这个正面其实就是我们说的单位矩阵E。

同样，如下面的矩阵 可以看成在

$\left[\begin{array}{l}1 & 2\\3 &4\end{array} \right]$ 里看到的2个向量 $\left[\begin{array}{l}5\\7\end{array} \right]$ 和 $\left[\begin{array}{l}6\\8\end{array} \right]$ 换到笛卡尔坐标系下看，变成了 $\left[\begin{array}{l}19\\43\end{array} \right]$ 和 $\left[\begin{array}{l}22\\50\end{array} \right]$

矩阵右乘

如果我们把上面矩阵固定不变，用给猪猪拍照做类比，向量右乘一个矩阵，可以看到相当于“改变了坐标系，进而改变了观察的视角”，对比见下表