11._行列式按行展开 - 线性代数

行列式按行展开

设行列式

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|

则有 $|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n)$ 和 $|\boldsymbol{A}|=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}=\sum_{k=1}^n a_{k j} A_{i j} \quad(j=1,2, \cdots, n)$ 分别称为 $|\boldsymbol{A}|$ 按第 $i$ 行展开的展开式及按第 $j$ 列展开的展开式.

证明我们只证明等式 $|A|=a_1 A_{11}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k}(i=1,2, \cdots, n)$ , 由结论 $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$ 即可得到另一个等式. (1) 先考虑一个特殊情况. 设

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|

则有

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} M_{11}

而 $\boldsymbol{A}_{11}=(-1)^{1+1} M_{11}=M_{11}, \quad$ 于是 $\quad|\boldsymbol{A}|=a_{11} A_{11}$ . (2) 再考虑如下形式的行列式

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j} & \cdots & a_{i-1, n} \\ 0 & \cdots & a_{i j} & \cdots & 0 \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| .

将行列式 $|A|$ 的第 $i$ 行依次与第 $i-1$ 行，第 $i-2$ 行， ..，第 2 行，第 1 行交换，使第 $i$ 行换到第 1 行，这样共交换了 $i-1$ 次. 再将所得行列式的第 $j$ 列依次与第 $j-1$ 列，第 $j-2$ 列， $\cdots$ ，第 2 列，第 1 列交换，使第 $j$ 列换到第1列，这样共换了 $j-1$ 次. 因此

|\boldsymbol{A}|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1}\left|\begin{array}{ccccccc} a_{i j} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{1 j} & a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1, j} & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1, j} & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n j} & a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=(-1)^{i-1}(-1)^{j-1} a_{i j} M_{i j}=(-1)^{i+j} a_{i j} M_{i j}=a_{i j} A_{i j} \cdot

（3）对任意的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ，它的第 $i$ 行 $\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$ 可以写成

\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)=\left(a_{i 1}+0+\cdots+0,0+a_{i 2}+0+\cdots+0, \cdots, 0+\cdots+0+a_{i n}\right),

于是由行列式的拆分 (性质 4) 可知

|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{D}_{i \mid}\right|+\left|\boldsymbol{D}_i\right|+\cdots+\left|\boldsymbol{D}_{i n}\right|,

其中 $\left|\boldsymbol{D}_{i j}\right|(j=1,2, \cdots, n)$ 是第 $i$ 行中只有 $(i, j)$ 元素 $a_{i j} \neq 0$ ，而其余位置上的元素均为零的行列式. 因此

|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{k=1}^n a_{i k} A_{i k} \quad(i=1,2, \cdots, n) .

行列式的展开

例计算行列式:

|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & 1 & 7 \end{array}\right|

解这时可将第二行乘以 -3 加到第三行上去再按定义展开:

\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & 1 & 7 \end{array}\right| & =\left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 4 \\ 2 & 5 & -1 \\ 0 & -14 & 10 \end{array}\right|=(-1)^{2+1} \cdot 2 \cdot\left|\begin{array}{cc} -2 & 4 \\ -14 & 10 \end{array}\right| \\ & =-2(-20+56)=-72 . \end{aligned}

注意：因为行列式展开计算量非常大，通常我们使用行列式的形状，把行列式化成上三角或者下三角。

对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角进行计算。

例求四阶行列式

\begin{aligned} &D=\left|\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right| \end{aligned}

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用第一行消去第二行，第三行和第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。

D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right|

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此 (i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行 (ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行 (iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行

D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\ -2 r_1+r_3 \\ -2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right|

③ 现在第一列已经变成 $(k,0,0,0)$ 上三角形式了，接下来处理第二列，让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$ 形式，为此，以第二行为基础，消去第三行和第四行。（i）将第 $2$ 行乘以 $-3$ 加到第三行（ii）将第 $2$ 行乘以 $-2$ 加到第四行此时得到的行列式如下：

D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\ -2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \end{array}\right|

注意在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动的可以，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是 $14$ 和第四行的 $7$ ，虽然 $14$ 乘以 $-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此交换第三行和第四行（注意行列式再次变号），

D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\ }}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \end{array}\right|

然后用新的第 $3$ 行乘以 $-2$ 加到第四行上去。

D\xlongequal{\substack{} \\ -2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值

\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|=-21

在计算时，需要灵活运动行列的性质。