10._代数余子式的异乘变零定理 - 线性代数

代数余子式的异乘变零定理

$n$ 阶行列式的某一行的所有元素与另一行中对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即

\boxed{ a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}=0 }

证明

将行列式 $D$ 按第 $s$ 行展开，得

D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \boldsymbol{a_{s 1}} & \boldsymbol{a_{s 2}} & \boldsymbol{\cdots} & \boldsymbol{a_{s n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{s 1} A_{s 1}+a_{s 2} A_{s 2}+\cdots+a_{s n} A_{s n},

将以上等式两端的 $a_{s 1}, a_{s 2}, \cdots, a_{s n}$ 依次换为 $a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}$ 后，左端行列式 $D$ 的第 $i, s$ 两行相同，由行列式的性质知，行列式有两行相等，其值为零，所以 $D=0$ ．于是得

0=a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}

即得证。

注意：这里的证明非常巧妙，请仔细思考一下为什么换成 $a_{s k}$ 和 $a_{i k}$ 后，就可以证明了。

如果你还不理解，可以参考下面解释

假设进行第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和计算，那么展开后的和就是将原行列式的第一行的元素替换成第四行元素行列式的值（这样该行列式按照第一行展开后的内容就和刚刚的结果对应上了），而此时行列式的第一行和第四行相同，行列式的值就为 0 ，那么第四行和第 1 行的代数余子式进行乘积之和也就为 0

\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 5 & 5 & 4 \\ 9 & 9 & 9 & 10 \end{array}\right|=9 * A_{11}+9 * A_{12}+9 * A_{13}+10 * A_{14}=\left|\begin{array}{cccc} 9 & 9 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \\ 2 & 5 & 5 & 4 \\ 9 & 9 & 9 & 10 \end{array}\right|=0

对于代数余子式的考试，考试时，不会正面考查，而是采用逆向思维进行考察，请看例题。

例 设行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrr}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第 4 行各元素余子式之和的值为 $\qquad$

行列式 $D$ 的第 4 行各元素余子式之和记为

M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}

由行列式按行展开定理知，只需将 $D$ 中的第 4 行元素换成 $-1,1,-1,1$ ，其余元素不变，得 4 阶行列式

D_1=\left|\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right|

于是 $D_1=M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$ ．再由计算得行列式 $D_1$ 的值为 -28 ，故应填 -28 ．考生在考试中出现如下一些典型的错误：（1）将行列式 $D$ 直接按第 4 行展开求 $D$ 的值，但 $D$ 的值不等于行列式第 4 行元素的余子式之和．（2）将行列式 $D$ 的第 4 行元素换成 $1,1,1,1$ ，得行列式

\bar{D}=\left|\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right|

再求出 $\bar{D}$ 的值．而 $\bar{D}$ 的值等于 $D$ 的第 4 行各元素的代数余子式的和，而不是余子式之和。