7._二维连续型联合分布举例 - Probability Theory and Mathematical Statistics

二维连续型随机变量的边缘密度函数

设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量, 其概率密度为 $f(x, y)$ , 由定义可得 $X$ 的边缘分布函数

\begin{aligned} F_X(x) & =P(X \leqslant x)=P(X \leqslant x, y<+\infty) \\ & =\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d s d t=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d t\right] d s . \end{aligned}

进而可得 $X$ 的边缘密度函数为

f_X(x)=\frac{d F_X(x)}{d x}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y .

同理, $Y$ 是连续型随机变量, 且其边缘密度函数为

f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x .

分别称 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布密度或边缘概率密度.

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 具有联合概率密度

f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 6, & x^2 \leqslant y \leqslant x \\ 0, & \text { 其他 } \end{array} .\right.

例 一家银行的服务包括人工服务和自助服务．在一天中， $X$ 表示接受人工服务所花费的时间， $Y$ 表示自助服务所花费的时间．二维随机变量 $(X, Y)$ 所有可能取值的集合为 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ （单位： h $),(X, Y)$ 的联合概率密度为

f(x, y)= \begin{cases}\frac{6}{5}\left(x+y^2\right), & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，即求 $P\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{4}, 0 \leqslant Y \leqslant \frac{1}{4}\right\}$ ．解

\begin{aligned} P\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{4}, 0 \leqslant Y \leqslant \frac{1}{4}\right\} & =\int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{6}{5}\left(x+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\frac{6}{5} \int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\frac{6}{5} \int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ & =\frac{6}{20} \times\left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^{\frac{1}{4}}+\frac{6}{20} \times\left.\frac{y^3}{3}\right|_0 ^{\frac{1}{4}} \\ & =\frac{7}{640} \approx 0.01 \end{aligned}

因此，人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率约为 0.01 ，这个概率是非常小的．

例求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ . 解

\begin{aligned} & f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\left\{\begin{array}{ll} \int_{x^2}^x 6 d y=6\left(x-x^2\right), & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array},\right. \\ & f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{ll} \int_y^{\sqrt{y}} 6 d x=6(\sqrt{y}-y), & 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array} .\right. \end{aligned}

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定理1

设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ . 证明 $\Omega_X=\Omega_Y=(-\infty,+\infty)$ ，由边缘密度函数的定义得

\begin{aligned} & f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} d y \\ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{(v-\rho u)^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right\} d v=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\ & \end{aligned}

上面例子说明，如果 $X,Y$ 服从正态分布，那么 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布。

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例 设 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，令

U=\left\{\begin{array}{l} 0, X \leq Y, \\ 1, X>Y . \end{array} \quad V=\left\{\begin{array}{l} 0, X \leq 2 Y \\ 1, X>2 Y \end{array}\right.\right.

求 $(U, V)$ 的联合分布律．

解由于 $(X, Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布，因此 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{2}, & (x, y) \in G, \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.

\begin{aligned} &\begin{aligned} & P\{U=0, V=0\}=P\{X \leq Y, X \leq 2 Y\}=P\{X \leq Y\}=\int_0^1 d y \int_0^y \frac{1}{2} d x=\frac{1}{4} \\ & P\{U=0, V=1\}=P\{X \leq Y, X>2 Y\}=0 \\ & P\{U=1, V=0\}=P\{X>Y, X \leq 2 Y\}=P\{Y<X \leq 2 Y\}=\int_0^1 d y \int_y^{2 y} \frac{1}{2} d x=\frac{1}{4} \\ & P\{U=1, V=1\}=P\{X>Y, X>2 Y\}=P\{X>2 Y\}=\int_0^2 d x \int_0^{\frac{1}{2} x} \frac{1}{2} d y=\frac{1}{2} \end{aligned}\\ &\text { 即 }(U, V) \text { 的联分布律为 } \end{aligned}

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