8._矩阵乘法_矩阵右乘

矩阵右乘是列变换

下面例子演示了右乘的意思，对于 $A \times B=C$

\left[ \begin{array}{l} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{l} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ] = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 8 \\ 6 & 6 & 9 \end{bmatrix}

从结果看，

一个矩阵 $A$ 右乘一个矩阵 $B$ ，相当于对矩阵 $A$ 的列进行了列变换。

记忆口诀：左乘是行变换，右乘是列变换

$图片$

初等矩阵右乘的效果

若 $E$ 是单位矩阵经过一次 列初等变换 得到的初等矩阵，那么 $A E$ 就是对 $A$ 做同样的列变换。

例如：

$E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}$ （交换第2、3列）右乘它： $A E$ 会交换 $A$ 的第 2 列与第 3 列。
$E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ （第 2 列乘 k）右乘它： $A E$ 会将 $A$ 的第 2 列乘以 $k$ 。
$E = \begin{bmatrix}1 & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ （第 1 列加 c 倍第 2 列）右乘它： $A E$ 会将 $A$ 的第 1 列加上 $c$ 倍第 2 列。

例如

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7 & 2 & 3 \\ 16 & 5 & 6 \\ 25 & 8 & 9 \end{bmatrix}.

新第 1 列 = 原第 1 列 + 2 × 原第 3 列新第 2 列 = 原第 2 列新第 3 列 = 原第 3 列

使用列变换求逆矩阵

列变换等价于右乘一个初等矩阵E，因为这个关系，给你一个矩阵 $A$ ，如果 $A$ 可逆，那么通过初等列变换总能变成单位矩阵 $E$ ,写成矩阵乘法就是：

A P_1P_2P_2...P_k \cdot=E

进一步的，因为 $A^{-1} \cdot A=E$ , 所以

A^{-1}= P_1P_2P_2...P_k

从上面可以得到逆矩阵的求法，

给你一个矩阵 $A$ ，把他和单位矩阵 $E$ 进行按列合并，然后使用列变换，上边化成 $E$ ,则下边就是 $A^{-1}$

即

\left[ \begin{array}{l} A \\ E \\ \end{array} \right ] \to \left[ \begin{array}{l} E \\ A^{-1} \\ \end{array} \right ]

注意：在求解方程或者逆矩阵里，我们几乎都不使用列变换，此处稍微了解即可。从上面可知，加上给你一个矩阵方程 $XA=B$ ,可以有两种解法：

①解法一：直接使用列变换求解。 ②解法二： $XA=B$ 两边去转置的 $A^{T} X^T=B^T$ 这样又变成左乘的形式了，然后使用行变换，只是解出来的是 $X^T$ ,只要再转置一下即可得 $X$

具体解释清参考逆矩阵，他也是 $XA=B$ 方差的标准解法，见逆矩阵解方程

矩阵右乘向量

对于矩阵右乘向量，通常使用转置进行理解

$图片$

矩阵转置后又变成了左乘模式，但是此时使用的是转置，

$图片$ 具体可以参考基变换的几何意义

矩阵左乘向量图解

\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{lll} x_1 & x_2 & x_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{lll} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] } &+x_3\left[\begin{array}{lll} a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right] \end{aligned}

观察上式，用 $x$ 行向量左乘矩阵 $A$ ，相当于对矩阵 $A$ 中的行向量做线性组合，线性组合的系数就是行向量 $x$ 中的每个对应位置的元素。

$img-text$

矩阵右乘

\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{l} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{array}\right]

观察上式，不难发现，矩阵 $A$ 右乘向量 $x$ 中的列向量 相当于对矩阵 $A$ 的列做线性组合。

$img-text$

由此的下面定理

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，对 $A$ 进行一次初等行变换相当于在 $A$ 的左边乘一个相应类型的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 进行一次初等列变换相当于在 $A$ 的右边乘一个相应类型的 $n$ 阶初等矩阵．

矩阵乘以对角矩阵

右乘对角矩阵 矩阵右乘对角矩阵相当于对列乘积相应的倍数 $img-text$

左乘对角矩阵 矩阵左乘对角矩阵相当于对行乘积相应的倍数 $图片$

矩阵乘以对角矩阵和列向量 这种也可以看成列的组合。 $图片$

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