10._三个重要矩阵_缩放矩阵_旋转矩阵与切变矩阵 - 线性代数

引言

下课时间到了，在嘈杂的教室里，每个同学都在开心的大笑或者说话，但是在这种复杂的环境下，你闭着眼睛还是能够感觉到哪个是小明的声音，哪个是小强的声音。我们对这个现象已经习以为常，学过高中物理的我们知道，声音是一种波，每个人说的话都是一种声波，当多个声波在空气里传播时，彼此不受干扰，因此你能分辨初小明和小强的声音。矩阵乘法从本质上说与此类似，两个矩阵相乘，可以认为是对空间图形的线性变换。本节涉及到空间向量知识，如果对向量不了解，可以学过向量后，再来学习本文。

在矩阵变换里有3种重要变换，这里单独介绍一下。

缩放矩阵

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

\begin{aligned} & x^{\prime}=s x \\ & y^{\prime}=s y \end{aligned}

写成矩阵形式为：

\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

\boxed{ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式}) }

下图展示了图像缩放示意图 $图片$ {width=600px}

仔细看上面这个矩阵，可以发现他是一个对角形矩阵即：主对角线有元素，其它元素都是0的矩阵，记住这种矩阵，他在线性变换里非常重要。

一个对角矩阵作用在一个三维向量 $a=(1,2,3)$ 上，相当于这个矩阵对这个向量的三个维度分别进行了变换。

例 下面矩阵乘法显示一个向量 $[1,1]$ 左乘以一个对角矩阵后，变成 $[2,1]$

\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]

从几何意义上看，向量从 $\vec{AB}$ 变成 $\vec{AC}$ ，也就是向量 $AB$ 发生了放大和旋转。

对角矩阵的2相当于 $x$ 方向上放大2倍，对角矩阵的1相当于 $y$ 方向上放大1倍。

$图片$ {width=500px}

旋转矩阵

我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点 $(0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$ 绕着原点 $(0,0)$ 旋转 $\theta$ 角时，变换矩阵可以表示为：

\boxed { \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] ...(\text{图像旋转公式}) }

证明

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角参考下图。 $图片$ {width=500px}

我们设原坐标里任一点 $(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为 $(x',y')$ ,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

\left[\begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]

解方程得到：

\begin{aligned} & A=\cos \theta \\ & C=\sin \theta \end{aligned}

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

\left[\begin{array}{c} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]

解方程得到：

\begin{array}{l} B=-\sin \theta \\ D=\cos \theta \end{array}

因此，坐标旋转公式为

A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]

下图显示了一个图形旋转 $图片$ {width=600px}

例 考虑 $\theta=45^{\circ}$ 时, $\cos \theta=\sin \theta= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,此时旋转矩阵 $A$ 为

\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right]

这意味着任何一个向量乘以该矩阵将旋转 $45^{\circ}$

提示：默认旋转矩阵都是正交矩阵，其所对应的行列式的值是1或者-1，具体后面会介绍。

特别的考虑下面2个矩阵相乘是多少？

A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc} \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right] \cdot A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc} \dfrac{\sqrt{2}}{2} & - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right]=?

$A_{\text {rotate }} \cdot A_{\text {rotate }}$ 表示矩阵旋转两次，也就是角度为90度，不用计算，仔细思考上面结果是多少

上面可以推广到三维，例如

A =\left[\begin{array}{ccc} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

就是空间图形绕Z周旋转矩阵。

切变矩阵

一本书实以水平的力，会发生切变 $图片$

在平面上，一个正方形受到了一个 $x_1$ 轴方向的水平切变力，切变表现为，其力偶作用由正方形变成一个等底，等高的平行四边形。其中，点 $P_1\left(x_1, x_2\right)$ 为正方形的任意一点，点 $P_2\left(x_1{ }^{\prime}, x_2{ }^{\prime}\right)$ 是切变后 $P_1$ 点所对应的平移点。 $图片$

由切变的意义，在从点 $P_1$ 到点 $P_2$ 的切变过程中，纵坐标 $x_2$ （高度）不会发生变化，即 $x_2{ }^{\prime}=x_2$ ；横坐标 $x_1$ 会向右（力的方向）平移一段距离 $P_1 P_2$ 。如果把切变的变化量用一个变化的夹角来度量，就可以得到 $P_1 P_2=x_2 \tan \theta$ （见图（b），因为两个三角形全等： $\triangle o A x_2 \cong \Delta x_1 P_2 P_1$ ），因此横坐标的变化关系为 $x_1{ }^{\prime}=x_1+x_2 \tan \theta$ 。把 $\tan \theta$ 简写为一个变量 $k(k \in R )$ ，则有 $\left\{\begin{array}{l}x_1{ }^{\prime}=x_1+k x_2 \\ x_2{ }^{\prime}=x_2\end{array}\right.$ ，将其改写成矩阵／向量的表达式

\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}=\left[\begin{array}{cc} 1 & k \\ 0 & 1 \end{array}\right]\binom{x_1}{x_2}

类似地，如果正方形切变的方向是竖直 $x_2$ 轴的方向，那么变化前后的坐标表达式为

\left\{\begin{array}{l} x_1^{\prime}=x_1 \\ x_2^{\prime}=k x_1+x_2 \end{array} \text { 或 }\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ k & 1 \end{array}\right]\binom{x_1}{x_2}\right.

因此，一个矩阵左乘矩阵 $\left[\begin{array}{ll}1 & k \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ k & 1\end{array}\right]$ 将发生切变。

我们称 $\left[\begin{array}{ll}1 & k \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 为切变矩阵。

如果仔细观看，上面二维的可以推广到三维的，比如乘以

=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{array}\right]

就是沿着 $y,z$ 方向切变